Этот странный квантовый мир - Трейман С.
ISBN 5-93972-117-6
Скачать (прямая ссылка):
Бор и понял, что эта разница появляется из разницы приведенных масс
водорода и однократно ионизированного атома гелия.
Существенные поправки к нашему изучению одноэлектронного атома появляются
из релятивистских эффектов. Напомним, что правильная формула для
кинетической энергии частицы массы то и импульсом р равна, в соответствии
с (2.14),
К = Е - тс2 = \J т2с4 + р2с2 - тс2.
Для скоростей частиц, малых по сравнению со скоростью света с, v/c =
СР п
= -- < 1. В первом порядке по этому малому отношению кинетиче-
тс
екая энергия сводится к известному выражению К = р2/2т. В следующем
порядке надо учесть поправку вида -р4/8т3с2. Ее можно добавить как
дополнительный оператор в уравнение на собственные значения энергии; в
низшем порядке нетрудно вывести, как он влияет на сдвиг уровней энергии.
Эти поправки были вычислены вскоре после рождения новой квантовой
механики, хотя они фактически фигурировали уже в рамках старой квантовой
механики. Другой путь, релятивистский подход, был не полон и не точен.
Поэтому релятивистские поправки, как описано выше, были рассмотрены в
первом порядке как малое возмущение. Эти поправки оказались действительно
малы.
Далее, необходимо учесть влияние спина. Наличие спина увеличивает
пространство квантовомеханических состояний. Наиболее общее спиновое
состояние является линейной комбинацией состояний со спином "вверх" вдоль
некоторой выбранной оси Z, и "вниз" вдоль той же оси; в обозначениях
(4.24) ms = 1/2 и -1/2 соответственно. Для большей краткости, мы будем
обозначать эти два спиновых состояния символами / и I- Предположим, что
спин электрона ориентирован строго / во всех точках пространства. Тогда
его волновая функция может быть записана в виде Ф = /(г, t) /, где
пространственно-временная функция / нормирована на единицу и /*/ имеет
обычную интерпретацию как пространственная плотность вероятности для
электрона (со спином вверх). Если спин во всем пространстве ориентирован
вниз, волновая функция запишется в виде Ф = g(r, t) /. Реальная волновая
функция является некоторой их линейной комбинацией
Ф = af(r, t) t +bg(r, t) I,
где а и b являются константами, нормированными согласно a*a+b*b = 1.
Пространственными распределениями вероятностей для спина вверх
Одноэлектронный атом
117
и спина вниз являются, соответственно, a*af*f и b*bg*g. Относительная
вероятность, не зависящая от пространственного положения, равна а*а/Ъ*Ъ.
Теперь вернемся к проблеме собственных значений энергии и для начала
предположим, что силы, действующие на электрон, не зависят от спина; а
именно, что, хотя электрон и имеет спин, силы этот спин не чувствуют. В
такой ситуации очевидно, что наблюдаемая спина S, очевидно, коммутирует с
наблюдаемой энергии и, следовательно, можно найти общие собственные
состояния энергии и компоненты S вдоль любой оси, скажем, Z. Ясно, что
собственные значения энергии полученные без учета спина, не будут
изменяться, если мы примем спин во внимание. Однако число собственных
состояний удвоится. А именно, предположим, что в отсутствие учета спина
мы можем найти собственные состояния и(х, у, z), соответствующие энергии
Е. С учетом спина оба состояния "Г и I будут собственными с одной и той
же энергией Е. Предположим, что частица движется в центральном
потенциале. Без учета спина у нее будут общие собственные состояния
энергии, I2 и Lz. Мы обозначим их как иПгрт. Пусть unj - соответствующие
уровни энергии (для атома водорода существует вырождение по но это
нетипично для центрального потенциала). Если учесть спин, эти состояния
приобретают индекс ms, так что теперь можно записать ип,г,тг,т.,•
Например, для спина вверх, unj^mu i/2 = ипщтгщ; точно так же для т8 = -
1/2. Однако энергия не зависит от спинового квантового числа т".
Кулоновские силы не зависят от спина и, следовательно, не могут влиять на
уровни энергии. Как это соотносится с тем, что спин проявляет себя в
спектроскопии? Ответ в том, что там существуют силы, от которых спин
зависит и которые снимают спиновое вырождение. Чтобы это понять,
рассмотрим случай безспинового электрона, движущегося в некотором
центральном потенциале; рассмотрим ситуацию, когда система дополнительно
помещена в однородное магнитное поле В. В уравнении на собственные
значения для энергии влияние магнитного поля проявляется в виде
слагаемого, пропорционального произведению магнитного поля В и компонент
углового момента в направлении поля. Для удобства за направление поля
выберем ось Z. Новое слагаемое, которое войдет в уравнение на собственные
значения (4.1) и добавится к потенциалу V, равно
еВ
2 тс
Lz. (5.18)
Из уравнения (4.22) мы видим, что "возмущенное" уравнение на собственные
значения (уравнения в присутствии поля В) имеет те же самые собственные
функции иПгртп что и "невозмущенное" уравнение. Наличие поля не меняет
собственных функций. Но энергии сдвигаются на величину eBhmi/2mc, этот
сдвиг снимает вырождение по квантовому
