Этот странный квантовый мир - Трейман С.
ISBN 5-93972-117-6
Скачать (прямая ссылка):
квантового числа то/. Именно это и можно было ожидать: так всегда
происходит в случае любого центрального потенциала. Это не справедливо
для случайного центрального потенциала, однако и там есть вырождение по
квантовому числу I. Это является специфическим свойством кулоновского и
сферического осцилляторного потенциалов. Для данной энергии Еп, I может
принимать любые значения, отмеченные выше; для каждого I, mi меняется в
интервале от -I до I через единицу. Для основного состояния (п = 1) I
имеет единственное значение (I = = 0), так что здесь вырождение
отсутствует. Для п = 2 существует два возможных значения Г. I = 0, 1. Для
I = 0, mi единственно и равно нулю. Но уже для I = 1; то/ = -1, 0, 1. В
результате, уровень с п = = 2 четырежды вырожден. Нетрудно подсчитать
степень вырождения в произвольном случае. Кратность вырождения того
уровня dn = п2. Этот результат получается из суммирования величины 21 + 1
по всем значениям I от 0 до п - 1. Заглядывая вперед, имейте в виду, что
это все справедливо без учета спина.
Мы выпишем здесь только волновую функцию основного состояния. Она очень
проста:
Это решение совпадает с радиальной функцией Дцо с точностью до множителя.
Вы без труда можете проверить, что (5.16) действительно является решением
радиального уравнения с Е, равной энергии основного состояния. Это
решение спадает экспоненциально при увеличении г, наиболее существенно
концентрируясь в области с радиусом, равным параметру а. Этот параметр
равен радиусу Бора, деленному на заряд ядра Z. Чтобы охарактеризовать
размер атома в состоянии с квантовыми числами п и I, удобно в качестве
меры обратной длины использовать среднее значение (1 /г). На самом деле
эта величина зависит только от п. Тогда для гг-го уровня результат равен
Основываясь на этой мере, размер атома в гг-ом энергетическом состоянии
получается равным (n2/Z)aB¦ Заметим, что радиус Бора ав = = 0,53•10-8 см.
Здесь будет поучительно немного отступить в сторону, чтобы сделать
некоторые размерные заключения. Задача на собственные значения энергии
для одноэлектронного атома включает в себя только два входных параметра:
Ze2 и отношение h2/m. Атомный за-
и0 = иц о, о
ав
Z
ав = -^-д. (5.16)
ТУ! I
ml
(l/r)n = Уп2а.
(5.17)
Одноэлектронный атом
115
ряд Z - безразмерен, поскольку это простое число (Z = 1 для водорода, Z =
2 для гелия, и т.д.). Поскольку е2/г является энергией; е2 имеет
размерность [энергия] • [длина]. Постоянная Планка h имеет размерность
[энергия] • [время]. Масса имеет размерность [энергия] •
[время]2/[длина]2. Подставив эти размерности, найдем, что
Г й2
[Ze2] = [энергия] • [длина]; - = [энергия] • [длина
2
Таким образом, энергия системы будет определяться параметром
4
(Zе2)2/(h2/то) = -е_т^ Энергетические уровни должны получаться h
как безразмерные числа, умноженные на эту величину, как это было в
(5.15). Аналогично, любая величина с размерностью длины должна выражаться
как безразмерное число, умноженное на отклонение h2/me2. Выражение для
радиуса Бора именно так и выглядит. Такие размерные соображения всегда
могут быть сделаны при исследовании задачи, поэтому задача на собственные
значения сводится к нахождению этих безразмерных чисел. Читатель может
попробовать использовать такой подход к задаче гармонического
осциллятора.
Вернемся к особенностям атома водорода. Одна из них состоит в следующем.
До сих пор мы рассматривали атом, как если бы мы имели дело с
одночастичной задачей. Ядро мы считали фиксированным, т. е. бесконечно
массивным. Его роль состояла в создании кулоновско-го потенциала, в
котором двигался электрон. К счастью, в квантовой, как и в классической
механике, легко учесть конечность массы ядра и рассматривать свойства
двухчастичной задачи. Это можно сделать в случае, когда, как и в данной
задаче, силы между двумя частицами зависят только от их относительного
расстояния. Мы только должны понимать, что все, делавшееся раньше, теперь
относится не к фиксированной системе отсчета, связанной с лабораторией, а
к системе отсчета, связанной с центром масс. Задача двух тел эффективно
сводится к одночастичной задаче, за одним исключением: во всех формулах
массы теперь являются не массами электрона, а приведенной массой задачи
двух тел:
теМя 1
JYI - ________ - jyi __________
те + Мя е 1 + те/Мя '
где те - масса электрона и Мя - масса ядра. Из-за того, что последняя
значительно больше массы электрона, приведенная масса мало отличается от
массы электрона. Даже для водорода эта разность порядка одной
двухтысячной. Тем не менее спектроскопия вполне способна зафиксировать
такую разницу. Если, например, мы будем игнорировать эффект приведенной
массы, то из формулы (5.15) будет следовать, что уровень
116
Глава 5
атома водорода с п = 1 будет совпадать с уровнем п = 2 для однократно
ионизированного атома гелия (Z = 2). Однако эта разница была
экспериментально измерена вскоре после появления теории Бора; собственно,
