Этот странный квантовый мир - Трейман С.
ISBN 5-93972-117-6
Скачать (прямая ссылка):
этом уравнении). Одно решение этого уравнения отличается от другого
главным квантовым числом п: поэтому R -л Rnj. Аналогично Е -л Enj.
Как обычно, мы не будем предлагать здесь непосредственно решать это
уравнение для некоторого конкретного потенциала V. Действительно, в
большинстве случаев, представляющих реальный интерес, найти простые
аналитические решения невозможно и приходится прибегать к численным или
приближенным методам. Но аналитическое решение, которое приведено ниже,
вы должны попытаться проверить!
Так называемое радиальное уравнение (5.14) подобно уравнению на
собственные значения для энергии частицы, движущейся в одномерном
потенциале V(x), хотя и имеет некоторые отличия:
(1) переменная х заменяется на переменную г, которая может принимать
только неотрицательные значения; при этом одномерные собственные функции
заменяются на произведение (rR). Это произведение должно зануляться в
начале координат, где г равно нулю. На одномерном языке это означает
наличие стенки при х = 0, так что х может меняться только в
неотрицательной области.
(2) Кроме того, проводя аналогию с одномерным движением, мы должны
заменить V(х) на V(x) + 1(1 + l)h2/2mx2. Лишнее слагаемое представляет
эффект действия центробежной силы.
Одноэлектронный атом
Это задача, на которой произрастали основы квантовой механики, начиная с
Бора и кончая Шредингером, Дираком, сдвигом Лэмба и квантовой
электродинамикой. Под одноэлектронным атомом мы понимаем
"водородоподобный" атом, систему, состоящую из ядра и электрона:
настоящий атом водорода, однократно ионизированный атом гелия, двухкратно
ионизированный атом лития и т.д. Для взрывоподобного открытия Шредингера
в квантовой механике, как и в "старой" теории Бора, было вполне
достаточно игнорировать различные тонкости, рассматривая электрон как
нерелятивистскую частицу, притягивающуюся к ядру с помощью кулоновского
потенциала. Это привело к очень близкому, хотя и не совсем идеальному,
совпадению с результатами эксперимента. Для примера, в основном состоянии
атома водорода отношение среднеквадратичной скорости электрона к скорости
света равно 1/137.
Одноэлектронный атом 113
Это достаточно малая величина, которая подтверждает, что релятивистские
поправки будут малы, как и ожидалось; но, тем не менее, они не
пренебрежимо малы. Отсюда появился факт, что электрон обладает спином.
Само по себе это не меняет энергии уровней, если внешние силы не зависят
от спина. Но такие силы существуют, и они приводят к сдвигу на величину,
подобную релятивистским поправкам. Чтобы не учитывать эти поправки по
отдельности, да еще и не точно, Дирак предложил ввести полностью
релятивистское уравнение для электрона. Он руководствовался тем
утверждением, что электрон обладает спином, но природа спина является
открытым вопросом. Ответ появился из уравнения Дирака, причем весьма
захватывающим образом. Но триумф не был полным. Оставались некоторые
тонкие расхождения с экспериментом, хотя они и не были точно измерены
почти два десятилетия спустя. Решение вопросов, связанных с этими
различиями, привело к установлению принципов квантовой электродинамики,
релятивистской квантовой теории поля электронов и фотонов. Но об этом
позже.
Теперь вернемся к обычному нерелятивистскому атому, который содержит один
электрон массы то и заряд -е, двигающийся вокруг неподвижного точечного
ядра с зарядом Ze. В данном случае мы пренебрежем спином. Кулоновский
потенциал равен V(r) = -Ze2jr. Он спадает до нуля по мере увеличения г,
поэтому можно сказать, что спектр энергий непрерывен при Е > 0. Поэтому
мы сконцентрируемся только на связанных состояниях, Е < 0. Поскольку
потенциал является центральным, мы можем использовать уравнения (5.13) и
(5.14) для задачи на собственные значения энергии. Радиальное уравнение,
как уже упоминалось, имеет решение для любых значений энергии Е\ но
обычно такие решения плохо определены. Однако при определенных значениях
Е, а именно - собственных значениях, существуют приемлемые решения. Для
каждого значения квантового числа I углового момента существует спектр
энергий и соответствующих радиальных функций. Мы временно введем индекс в
виде большой буквы N, значения которого меняются от JVmin = 0 и выше,
независимо от значения I. Тогда энергетический спектр связанных состояний
для данного квантового числа I можно записать в виде
ЕМ1 = -ЩИ 1------------------------------------ N = 0, 1,2,3, ...
Zh2 (N + 1 +1)2'
Заметим, что энергия зависит только от суммы целых чисел N и I. Поэтому
можно определить новое целое квантовое число п = N + I + + 1. Для данного
I, п меняется от 0 до lmax = п - 1. Выражая таким образом I, можно найти,
что спектр связанных состояний имеет вид
т-1 Z2e4m 1
2 Н2
п
2, (5.15)
где п = 1, 2, ..., оо, и для данного п, I = О, 1 ... п - 1.
114
Глава 5
Соответствующие состояния ипщт нумеруются тремя индексами. Нетрудно
видеть, что эти состояния вырождены. Энергия состояний не зависит от
