Этот странный квантовый мир - Трейман С.
ISBN 5-93972-117-6
Скачать (прямая ссылка):
направлений. В такой ситуации физика явления должна допускать
вращательную инвариантность, т. е. она не должна меняться при
произвольных вращениях вокруг любой оси, проходящей через начало
координат. Это свойство симметрии имеет очень важное приложение. В
классическом случае оно приводит к сохранению углового момента L: угловой
момент частицы, движущейся в центральном потенциале, остается неизменным
по величине и направлению, пока она движется по орбите. Это необходимо
приводит к тому, что классическая орбита должна лежать в плоскости с
вектором L, перпендикулярным плоскости. Возможно все ориентации плоскости
движение. Ориентация для любой конкретной орбиты определяется начальными
условиями. Вращательная симметрия приводит также к тому, что
равновозможна любая ориентация орбиты внутри плоскости, а конкретная
ориентация опять определяется начальными условиями. Например, Земля
движется вокруг Солнца по некоторой конкретной эллиптической орбите
(которая близка к круговой). Главная ось такого эллипса расположена в
некотором конкретном направлении в пространстве. Центральные силы
гравитации допускают для этой оси любое направление в пространстве; точно
так же они допускают любую другую ориентацию плоскости.
Более общим образом классическую ситуацию можно рассмотреть так. Для
данного потенциала V, является он центральным или нет, ньютоновский закон
движения допускает бесконечно много различных орбит. Конкретный вид
орбиты определяется начальными условиями. Йз наличия геометрической
симметрии, если таковая существует, получаются соотношения между
орбитами. В случае вращательной симметрии, если мы знаем одну орбиту, мы
можем получить остальные при помощи произвольных вращений, как описано
выше. Это очень мощное средство. Квантовомеханический эквивалент закона
сохранения для классического углового момента состоит в утверждении, что
все три декартовы
Общий случай центрального потенциала
111
компоненты наблюдаемой углового момента L коммутируют с наблюдаемой
энергии. Как уже обсуждалось, эти три компоненты не коммутируют между
собой, но L2 коммутирует с компонентами L в любом направлении.
Следовательно, для частицы, движущейся в центральном потенциале, мы можем
найти состояния, которые одновременно являются собственными как для
энергии, так и для L2 и одной из компонент L в любом направлении, которое
мы выберем. Выберем желаемое направление в качестве оси г. Общие
собственные состояния будут отличаться квантовыми числами I и иц (см.
(4.21) и (4.22)). Для данного значения этих квантовых чисел будет
существовать целый спектр значений энергии. Для простоты обозначений
будем считать этот спектр дискретным. Тогда мы можем ввести главное
квантовое число п (в действительности это просто индекс для подсчета) для
того, чтобы различать среди линейно независимых состояний те, которые
имеют одинаковые I и то/. Такие общие собственные состояния можно
обозначить как unjjnil. Энергию, соответствующую этому состоянию, мы
предусмотрительно обозначим Еп,цт1.
Фактически, нетрудно показать, что энергия в центральном потенциале не
зависит от ту, точнее - по данному квантовому числу энергия вырождена.
Энергии Enj зависят только от двух индексов п и I. Тогда 21 + 1 состояний
иП;цт,, которые имеют одинаковые индексы п и I, но различные то/, будут
соответствовать одной и той же энергии. Это вырождение является квантовым
аналогом классического результата, что угловой момент L может иметь любую
ориентацию. Квантовое вырождение по то/ следует из того факта, что
центральный потенциал не имеет предпочтительного направления в
пространстве.
Разберемся с главным квантовым числом п. Рассмотрим все линейно
независимые состояния, которые имеют одинаковую пару I и то/. Все
состояния в этом наборе будут иметь различные энергии. Чтобы различать
состояния по энергиям, используем индекс п, такой, чтобы п увеличивался
по мере увеличения энергии. Выбор того, откуда должен начинаться это
индекс - какое именно пш\п соответствует уровню с наименьшей энергией, -
это вопрос удобства и соглашения. Иногда лучше выбирать различные
значения ггт;" для различных значений I.
Собственные состояния проще всего выразить в сферических координатах. В
этих координатах собственные функции имеют вид
= Rn,i(r)Yimi(0, Ч>), (5-13)
где множитель в виде сферической гармоники, являющейся функцией полярного
угла в и азимута +, гарантирует, что решение является собственным
состоянием для L2 и L. Если это выражение подставить в уравнение на
собственные значения для энергии (4.1), получится обыкновенное
дифференциальное уравнение для радиальной функции R, или
112
Глава 5
для произведения г•R:
d2(rR) 2тЕ, m 2mV(r), m , 1(1 + 1), m ,С1/1Ч
,2 +-^-(rR) = ------+2 (rR) + ----5--(rR)' (5-14)
dr n n r
Мы временно опустили индексы п и I у радиальной функции R. Хорошо
определенные решения уравнения (5.14) зависят от квантового числа I
полного углового момента (но никак не от то/, которое даже не появилось в
