Этот странный квантовый мир - Трейман С.
ISBN 5-93972-117-6
Скачать (прямая ссылка):
x(t) = xq sin(w(t - to)),
где xq и to - произвольные параметры, определяемые начальными условиями.
Поскольку синус изменяется в пределах от -1 до 1, это решение
подтверждает, что частица движется между точкам поворота при х = ±жо, где
величина xq определяется значением энергии Е, в соответствии с написанным
выше. Параметр to является моментом времени, в который частица проходит
через начало координат (в положительном направлении). Основная мысль,
которую стоит подчеркнуть, состоит в том, что это движение является
периодическим, с угловой частотой и.
С точки зрения квантовой механики, после домножения на константу, задача
на собственные значения энергии сводится к виду
сРи . 2тЕ (ти>\2 2 п /к с\
1Г + - "-у-)хи = 0- т}
Как обычно, это уравнение имеет решение при любых значениях энергии, но
такие решения, вообще говоря, "расходятся"; т. е. неограниченно растут по
мере того, как х -> ±оо. Только при определенных значениях энергии Еп
существуют хорошо определенные решения, соответствующие собственным
функциям ип. В данном случае хорошая определенность означает,
что функция очень быстро обращается в нуль по мере
того, как величина х растет. Разрешенные собственные значения энергии
определяются хорошо известной и знаменитой своей простотой формулой
Еп = Пш{п + 1/2), п = 0, 1, 2, 3 ... . (5.7)
Отметим, что основное состояние имеет конечную энергию Eq = fko/2. Из
волновых функций мы выпишем только функцию основного состояния, которая
равна
ио = ^ехр(-^), xo = \[ir (5-8)
где N - константа нормировки, которая здесь не будет вычисляться. Хотя
для получения (5.8) из (5.6) необходима довольно сложная математика,
подтвердить, что (5.8) является решением (5.6) для Е = Eq = hui/2 можно
простым дифференцированием. Убедитесь в этом! Заметим также, что волновая
функция начинает очень быстро спадать за точками поворота. Тем не менее,
существует малая вероятность найти частицу в классически запрещенной
области \х\ > xq.
Гармонический осциллятор
109
Три измерения
Потенциал "сферического" гармонического осциллятора равен
V(2) = ^шш2г2. (5.9)
Он соответствует притягивающей радиальной силе F = -Кг\ снова можно
определить частоту ш через упругую константу К в соответствии с ш =
(К/т)1/2. Поскольку потенциал разделяется в сумму слагаемых, каждое из
которых зависит только от одной декартовой переменной, т. к. г2 = х2 + у2
+ z2, то решение задачи сводится к решению одномерной задачи, которую мы
рассмотрели выше. Собственное значение энергии получается как сумма
энергий для трех одномерных задач. Пусть ип - одномерное собственное
состояние, выраженное как функция одной из декартовых координат х, у, z.
Пусть Еп - соответствующее собственное значение одномерной задачи. Тогда
собственные функции для трехмерного осциллятора (назовем их v(x, у, z)),
занумерованные тремя целыми числами п\, ri2 и пз, могут быть записаны в
виде
v(x, у, z) = иП1(х) +иП2(У) + uns(Z),
( 3\ (5-10)
ЕП1,п2,пз - Ещ + ЕП2 + Епз - HloI п\ + пг + Щ + 2 J >
где целые числа п\, П2, "з снова меняются от нуля до бесконечности.
Конечно, энергия зависит только от их суммы, которая снова является целым
числом. Поэтому уровни энергии можно нумеровать одним числом п,
определяемым как п = rii + ri2 + п^:
Еп = Пи (п + !), п = 0, 1, 2, 3, .... (5.11)
Такая ситуация связана с вырождением, поскольку за исключением п = = 0
одно и то же число п можно представить разными способами в виде суммы
трех неотрицательных чисел п\, П2, "з. Для основного состояния, п = 0,
вырождение отсутствует, т.к. (rii, ri2, "з) = (0, 0, 0) дает единственный
набор чисел. Но для п = 1 существует три разбиения: (1, 0, 0), (0, 1, 0),
(0, 0, 1). Для п = 2 возникает шесть наборов (проверьте!), и т.д.,
степень вырождения повышается по мере роста п. Каждое разбиение для
данного п соответствует другой собственной функции.
Основное состояние сферического осциллятора имеет энергию ЗЙш/2. Его
волновая функция, как это видно из (5.8) и (5.10) равна
ад,о,о = лг3ехр^--^2^, ад=аду^§у- (5.12)
Для трехмерного случая мы заменили обозначение xq на ад.
110
Глава 5
Общий случай центрального потенциала
Потенциал V(r) является центральным, если он зависит от х, у, z только
через переменную г, равную расстоянию до начала координат. Можно сказать,
что потенциал V(r) "центрирован" относительно начала координат. Силы,
описываемые сферическим потенциалом, называются центральными силами. Они
действуют в радиальном направлении с величиной F = -dV/dr. Положительное
значение F означает, что сила является отталкивательной, отрицательное
значение F соответствует притягивающей силе, которая направлена к началу
координат. Конечно, возможна ситуация, когда при некоторых значениях г
сила является отталкивающей, а при некоторых г - притягивающей. Потенциал
сферического осциллятора, обсуждавшегося выше, дает пример чисто
притягивающего центрального потенциала.
Центральный потенциал не имеет в пространстве предпочтительных
