Этот странный квантовый мир - Трейман С.
ISBN 5-93972-117-6
Скачать (прямая ссылка):
величины, а не от направления, возникает бесконечное вырождение - вектор
р может быть направлен в любую сторону. Для данной энергии Е
(соответствующей величине р) общее собственное состояние является
суперпозицией экспонент (4.14), взятых с учетом всех возможных
направлений р.
Частица в яме
Одно измерение
Рассмотрим одномерную яму, расположенную вдоль х и окруженную слева и
справа бесконечно высокими стенками. Такие стенки являются идеализацией,
соответствующей случаю очень резкого увеличения потенциала до
бесконечности. Такой бесконечный скачок потенциала соответствует случаю
бесконечно сильных, отталкивающих сил на границе ямы. Невзирая на
странности квантовой механики, такая яма позволяет удерживать частицу,
как если бы она была классической. Даже
106
Глава 5
квантовая частица не может туннелировать через бесконечную стенку. Это
приводит к граничному условию на границе ямы: волновая функция должна
обращаться в нуль на стенках. Пусть стенки находятся в точ-ке х = 0 и х =
L. Движение частицы между ними можно считать свободным (V = 0). Поэтому
общее собственное состояние для энергии внутри ямы может быть записано в
виде (5.2). Пока что (комплексные) константы А и В были произвольны. Но
теперь мы должны потребовать выполнения граничных условий. Чтобы
выполнить условие в точке х = = 0, необходимо потребовать, чтобы В = -А.
Тогда нетрудно видеть, что разность двух экспонент в (5.2) приводит к
тригонометрическому синусу. Поэтому, если обозначить новую константу с,
можно записать, что
Но решение должно обращаться в нуль так же в точке х = L, что приводит к
условию sin kL = 0. Хорошо известно, что синус обращается в ноль, если
его аргумент пропорционален числу тт. Следовательно, возможные значения к
определяются числами кп = п = 1, 2, оо.
Соответственно, собственные функции и собственные значения энергии
(которые теперь можно занумеровать целым индексом п) равны
где коэффициент перед синусом выбран таким образом, чтобы собственная
функция была нормирована. Собственные значения энергии и собственные
функции занумерованы целым числом, которое меняется от 1 до оо. Поэтому
существует счетная бесконечность связанных состояний. Отметим, что
собственные значения энергии растут без ограничения по мере увеличения
целого числа п. Абсолютное значение расстояния между данным уровнем и его
соседним, т. е. АЕп = Еп+1 - Еп, также растет по мере увеличения п. Но
относительное изменение становится все меньше и меньше, при увеличении п.
Для больших п относительное изменение примерно равно отношению АЕп/Еп,
которое уменьшается при увеличении п. В этом смысле макроскопические
энергии (при больших п) образуют спектр, который практически является
непрерывным.
Эта простая задача иллюстрирует, как требование "хорошего поведения"
волновой функции приводит к квантованию собственных значений. В данном
случае это требование состояло в том, что волновая функция должна
обращаться в нуль на стенках ямы. Обычно, при отсутствии стенок, хорошее
поведение состоит в требовании, чтобы волновая функция была ограничена,
т. е. не росла бесконечно по мере того,
ue{x) = csin кх.
п = 1,2,3,..., (5.3)
Гармонический осциллятор
107
Три измерения
Сейчас можно рассмотреть трехмерную яму, куб со стороной L, один из углов
которого находится в точке (ж, у, z) = (0, 0, 0). Опять предположим, что
внутри ямы частица движется свободно. При этом мы должны требовать, чтобы
волновая функция обращалась в нуль на всех шести стенках. Задача решается
аналогично одномерному случаю. Собственные значения и собственные функции
нумеруются тремя неотрицательными целыми числами щ, ri2, пз. Можно найти
ЕП1 п2 п3 - 2 (п1 + п2 + п3),
2 mLz
. /ЖП1Х\ . (1ГП2Х \ . /7ГПзЖ\
sm(-)8т{-)8т{-)¦
Мы используем этот результат несколько позже.
(5.4)
Гармонический осциллятор
Гармонический осциллятор проявляется в различных формах во многих
разделах науки. По этой причине, а так же в силу педагогического
значения, осциллятор занимает важное место в ряду классических примеров.
Одно измерение
Потенциал осциллятора соответствует закону /(ж) = -кх, где к -
положительный параметр, называемый "коэффициентом упругости". Этот закон
с хорошим приближением описывает действие возвращающей силы, которая
возникает со стороны реальной пружины, которая сжата (или при ж < 0
растянута) на величину ж. Потенциальная энергия
ту- 2
в этом случае равна V(x) = ? . Отметим, что потенциал растет по ме-
ре увеличения отклонения ж. Следовательно, можно предположить, что
квантовомеханический спектр энергии будет чисто дискретным. В дальнейшем
удобно заменить параметр К на частоту ш, определенную соотношением со =
(К/т)1!2, где то - масса частицы. Тогда потенциал можно переписать в виде
т г / Л 1 2 2
V (ж) = - тш х .
(5.5)
108 Глава 5
Если частица имеет энергию Е, ее классическое движение лежит между
точками поворота х = xq и - xq, где xq = (2Е/mui2)1/2. Общее решение
классических уравнений движения имеет вид
