Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Трейман С. -> "Этот странный квантовый мир" -> 47

Этот странный квантовый мир - Трейман С.

Трейман С. Этот странный квантовый мир — И.: НИЦ, 2002. — 224 c.
ISBN 5-93972-117-6
Скачать (прямая ссылка): etotstranniykvantoviymir2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 108 >> Следующая

показать, что коэффициенты An(t) в произвольный момент времени t связаны
со своими значениями в момент t = 0 простыми соотношениями
Этим соотношением решается задача временной эволюции - по крайней мере,
если задача на собственные значения может быть решена.
Конечно, эта победа кажется сомнительной, поскольку сумма в (4.29) обычно
содержит бесконечное число слагаемых. Однако это формальное решение
обеспечивает глубокое понимание и служит основой для различных
приближенных подходов.
Интересно рассмотреть эволюцию во времени для самой простейшей из всех
ситуаций, а именно, для свободно движущейся частицы, когда V = 0. Для
упрощения рассмотрим одномерный случай. В классическом случае, если
частица начинает движение в момент времени t = 0 из точки жо с начальным
импульсом ро, то в последующие моменты времени ее импульс не меняется, а
координата меняется по закону x(t) = xo+pot/m. В квантовой механике мы
имеем дело с распределением вероятностей. Пусть (x)t и (p)t,
соответственно, являются средними
Ф(?) = Аг(Ь)и1 + A2(t)u2 + A3(t)u3 + ... ,
(4.29)
An(t) = An(0)exp(-iEnt/fi).
(4.30)
Энергетические аспекты
99
координаты и импульса в момент t. Квантовым аналогом постоянства импульса
является неизменность распределения по импульсам с течением времени.
Следовательно, (p)t = (р)о и (p2)t = (р2)о- Но среднее положение с
течением времени меняется. В терминах средних значений это изменение
должно выглядеть так же, как и в классике:
(x)t = (х)о + (p)t/m.
В данном случае больший интерес представляет среднеквадратичное
отклонение координаты, которое не имеет аналога в классическом случае.
Среднеквадратичное отклонение является мерой ширины распределения
вероятности. Об этом распределении часто говорят как о волновом пакете,
который может рассматриваться как описание материального тела,
движущегося в пространстве и меняющего форму с течением времени.
Определим ширину среднего квадрата координаты и импульса как
(Ax2)t = ((x2)t) {{x)tf: (A p2)t = ((p2)t) ((p)t)2.
Тогда нетрудно видеть, что для свободной частицы ширина
среднеквадратичного отклонения координаты с течением времени равна
(Ax2)t = (Ах2)0 + bt+ (Ap2)0t2/m2.
Коэффициент b в линейном слагаемом зависит от деталей первоначальной
волновой функции и здесь нас интересовать не будет. Интересно последнее
слагаемое. Коэффициент при t2 всегда положителен. Тогда, каким бы ни был
знак Ь, через достаточно продолжительное время пакет будет не только
двигаться, но и уширяться. Это означает, что даже если в некоторый
начальный момент пакет был локализован, через некоторое время он
неизбежно будет постепенно "расплываться".
Т уннелирование
Предположим, что одномерная частица движется в потенциале V(x),
изображенном на рис. 4.2. Достаточно сложная, изогнутая функция,
показанная на рисунке, выбрана для иллюстрации определенных интересных
свойств задачи на собственные значения энергии. Мы хотим сравнить
классический и квантовый подходы.
Классические барьеры
Классически, кинетическая и потенциальная энергии частицы изменяются при
ее движении по орбите, но сумма Е = К + V является величиной постоянной.
Поскольку кинетическая энергия К = р2/2т обязательно неотрицательна,
классическая частица с энергией Е может
100
Глава 4
двигаться только в областях пространства, где V(x) ^ Е. На энергетической
диаграмме потенциал меняется вдоль х, но полная энергия Е, поскольку она
является константой и не зависит от х, представляется прямой
горизонтальной линией. Частице доступны все значения энергии Е, которые
находятся выше минимума потенциала. Какой конкретно энергией будет
обладать частица, определяется ее начальными условиями. Рассмотрим
несколько различных случаев полной энергии Е.
Рис. 4.2. Воображаемая функция потенциала V(x), придуманная с
педагогическими целями (сплошная кривая). Горизонтальные линии Е1-Е4,
соответствуют различным случаям полной энергии: кинетической плюс
потенциальной.
(1) При энергии Ег < 0, показанной на диаграмме, частица может двигаться
только в ограниченной (финитной) области между "точками поворота" А и В.
Говорят, что она движется по ограниченной орбите. Если частица движется
вправо, неизбежно наступит момент, когда она окажется в точке В. После
этого она повернется, и начнет двигаться к точке А, достигнув которую,
двинется к В и т.д., вперед и назад между точками поворота. Линия,
отмеченная Е\, проведена сплошной внутри разрешенной области и пунктиром
в классически запрещенной области.
(2) При энергии ?ц, как показано на рисунке, существует три не связанные
друг с другом пространственные области. Одной из них является
неограниченная область между отрицательной бесконечностью и точкой
поворота в С. Другой является неограниченная область между положительной
бесконечностью и точкой поворота в G. Третьей является
Энергетические аспекты
101
ограниченная орбита между точками поворота D и F. Если в начальный момент
частица начинает движение слева от точки С, но движется вправо, она
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 108 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed