Этот странный квантовый мир - Трейман С.
ISBN 5-93972-117-6
Скачать (прямая ссылка):
компонент операторов координат и импульсов. Тогда можно найти, что х и ру
коммутируют между собой, так же как и у и рх, и т. д.
Несколько заключительных слов об операторах. В абстрактной формулировке
квантовой механики концепция операторов играет центральную роль. В
подходе, который мы используем, состояние системы в любой момент
описывается функцией пространственных координат; поэтому операторы,
которые мы встречаем, являются операторами типа дифференцирования. В
абстрактной формулировке, абстрактные состояния системы образуют
математическое пространство абстрактных объектов, называемых "векторами",
поэтому операторы задаются правилом отображения этих абстрактных векторов
в, вообще говоря, другие вектора того же пространства. Такая точка зрения
часто дает преимущество благодаря большой гибкости и широте взгляда.
Однако для практических вычислений часто приходится опускаться до
некоторых конкретных представлений. То, что мы делали до сих пор - это
работали в так называемом шредингеровском представлении "координатного
пространства".
Угловой момент
Орбитальный угловой момент
Орбитальный угловой момент частицы определяется классически с помощью
наблюдаемых координаты и импульса как их векторное произведение L = г х
р. В декартовых координатах: Lx = ypz - zpy, Ly = = zpx - xpz, Lz = xpy -
ypx. Дополнительно к трем декартовым координатам L мы можем также
рассматривать величину углового момента; или, что более удобно, ее
квадрат - L2. Соответствующий квантовый
Угловой момент
93
оператор получается при замене в классическом выражении переменных
координат и импульсов на операторы. Например, квантовый оператор для Lz
получается в виде
Уравнение на собственные значения для этой компоненты сводится к
дифференциальному уравнению
Величина Lz в правой части является собственным значением. Подобные
выражения можно записать и для других компонент, а также для квадрата
полного момента. Значительно удобнее выразить операторы для декартовых
компонент углового момента через сферические координаты г, в, (р.
Угловой момент в квантовом мире гораздо более интересен, чем в
классическом. Некоторые его свойства действительно имеют странный
привкус. Хотя он выражен через координаты и импульсы, он может принимать
только определенные дискретные значения; но, кроме этого, существуют и
другие странности. Одно важное квантовомеханическое свойство углового
момента состоит в следующем. За некоторым исключением, здесь отсутствуют
состояния, которые являются собственными для всех трех компонент
одновременно и даже для пары компонент L. Это происходит вследствие того,
что компоненты момента не коммутируют между собой; поэтому здесь нет
состояний, для которых можно узнать значения двух компонент момента
одновременно, но есть состояния, для которых известно значение только
одной из компонент. Однако каждая из декартовых компонент момента
коммутирует с L2. Поэтому здесь должны существовать состояния, которые
одновременно являются собственными для L2 и компоненты L в любом
направлении, не обязательно вдоль координатных осей. Для определенности
будем искать собственные состояния для L2 и Lz. Задача на собственные
значения для L2 уже была записана выше. Ее вид упростится, если уравнение
переписать в сферических координатах. Поэтому оператор L2 тоже удобнее
записать в сферических координатах. Но мы не будем выписывать здесь эти
уравнения явно, а приведем лишь результаты. Для наблюдаемой L2
собственные значения - те, что возможны, - даются выражением
где I может быть любым целым числом от нуля до бесконечности. Для данного
квантового числа I собственные значения Lz равны
L2=l{l+l)h2, I =0, 1, 2, 3, ...
(4.21)
Lz = rriih, mi = -I, - I + 1, ..., I - 1, I.
(4.22)
94
Глава 4
Таким образом, для данного I число то является целым и может принимать 21
+ 1 значений в интервале от -I до +/.
С точки зрения классики, здесь можно увидеть несколько странных эффектов.
Один из них состоит в том, что величина вектора углового момента
квантована: она принимает только определенные дискретные значения. Это
происходит несмотря на то, что оператор углового момента определен через
координаты и импульсы, операторы которых имеют непрерывный спектр. Более
того, для одного из выбранных значений L2 - выберем его равным I -
проекция L2 на ось z может принимать только определенные дискретные
значения, как это видно из (4.22). Таким образом, здесь происходит
некоторое дополнительное квантование. Возможно ли это по той причине, что
у L могут быть только определенные направления в пространстве? Если так,
то ось z не может не может быть ни одним из этих направлений.
Действительно, если направление L совпадает с положительным или
отрицательным направлением оси z, то квадрат проекции на ось z должен
быть равен L2, в этом случае L2 = L2 = 1(1 + 1 )Н2. Но из (4.17) и (4.18)
видно (при данном /), что наибольшее собственное значение L2 равно 12Н2,
которые меньше, чем l(l + l)h2. Поскольку мы не делали каких либо
