Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Трейман С. -> "Этот странный квантовый мир" -> 42

Этот странный квантовый мир - Трейман С.

Трейман С. Этот странный квантовый мир — И.: НИЦ, 2002. — 224 c.
ISBN 5-93972-117-6
Скачать (прямая ссылка): etotstranniykvantoviymir2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 108 >> Следующая

различных значений, получаемых в эксперименте, определяемых состоянием Ф
системы (см. уравнения (4.7)-(4.10) и многочастичное обобщение,
рассмотренное позднее). Для наблюдаемой энергии мы уже выписывали
уравнение на собственные значения - уравнение (4.1) для случая отдельной
частицы; мы показали как оно обобщается на случай двух или более частиц.
Что же можно сказать о других наблюдаемых? В остальной части главы мы
остановимся на импульсе, орбитальном угловом моменте, спиновом угловом
моменте и энергии для одиночной частицы, а также на сопутствующих им
разделах.
Импульс
Уравнение на собственные значения для декартовых компонент импульса р
выглядит очень просто. Например, для компоненты рх уравнение имеет вид
= PxU' (4-13)
Аналогичное соотношение можно записать для двух оставшихся компонент. Все
три декартовы компоненты импульса коммутируют между собой. Это означает,
что можно найти решения, которые являются одновременно собственными
состояниями всех трех. Из уравнения (4.13) и его аналогов для остальных
компонент нетрудно найти, что единственное состояние с одновременными
значениями рх, ру, pz (образующими
88
Глава 4
3-вектор Р) имеет вид
(4.14)
Численный коэффициент перед экспонентой выписан для удобства дальнейших
вычислений. Это решение одновременно удовлетворяет как уравнению (4.13),
так и его аналогам для ру и pz. Такое состояние доказывает, что импульс
не квантуется: разрешены любые трех-вектора р. Импульс делит это свойство
с наблюдаемой положения г: возможны все положения частицы.
Предположим, что наша частица описывается некоторой волновой функцией Ф.
Какое распределение по импульсам мы получим при измерении? В соответствии
с (4.9) и (4.10), амплитуда вероятности
где скалярное произведение определено в соответствии с (4.4). Плотность
вероятности получить р равна
интегрируя которую по некоторой конечной области переменных импульса, мы
получим вероятность того, что импульс частицы находится в заданной
области. Чуть отвлекаясь, рассмотрим интересный пример одного из лучших
проявлений ограничений, определяемых принципом неопределенности
Гейзенберга. Для простоты рассмотрим случай одномерного движения вдоль
оси х. Выберем специальную волновую функцию, представляющую целое
семейство состояний, которая минимизирует соотношения неопределенности
координаты и импульса:
где N - нормировка, которую мы не будем выписывать, а Л - произвольный
параметр. Плотность вероятности распределения по координате х равна Р(х)
= Ф*(ж)Ф(ж). Отсюда легко вычислить различные средние, в частности,
средний квадрат отклонения координаты. Результат равен Аж = Л. Используя
(4.15) и (4.16), мы можем вычислить плотность вероятности распределения
по импульсу и, после этого, средний квадрат отклонения по импульсу.
Получаем Арх = Й/2А. Следовательно, произведение координатного и
импульсного уширения равно АрхАх = Й/2, что в точности равно наименьшей
возможности, установленной Гейзенбергом, см. уравнение (4.11).
А.р - (tip Ф)
(4.15)
Р(р) = а;ар,
(4.16)
Ф = N ехр(-ж2/4А2),
Концепция операторов
89
Концепция операторов
Откуда появилось уравнение на собственные значения импульса?
Правдоподобное обоснование может быть получено из следующих рас-суждений.
Мы уже рассматривали уравнение Шредингера (4.2) и выражение (4.6) для
пространственного распределения вероятности. В дальнейшем, если у нас
будет волновую функцию системы Ф, мы можем вычислить средние значения
(ожидаемые значения) различных пространственных величин. В частности,
рассмотрим среднее значение координаты (x)t в момент времени t. Из (4.6)
следует, что
{х)' = ///
dxdy й!,гФ*жФ,
Это ожидаемое значение будет меняться с течением времени, потому что
меняется волновая функция. Поэтому можно вычислить его производную по
времени, используя уравнение Шредингера (4.2). Результат сведется к
Но классически, компонента^ = mdx/dt. Поэтому это выражение подсказывает,
что
(и) (Px)t = JJJ dxdydz^^-ih-^v.
Аналогичные соотношения можно записать и для других декартовых компонент
ру и pz, если выполнять дифференцирование по у и z соответственно.
Используя функцию Ар, определенную соотношением (4.15), основанным на
определении Up в (4.14), можно получить чисто математическое следствие
(И) и (4.4)
(Px)t = JJJ dpx dpy dpz A*ppx Ap;
JJJ dpx dpy dpz ApAp = 1.
Эти два соотношения подтверждают наши подозрения о том, что А*Ар
действительно является плотностью функции распределения по импульсу,
подтверждая, что уравнение (4.13) может корректно восприниматься как
уравнение на собственное значение для импульса.
Величина, заключенная в скобки в правой стороне соотношения (И),
называется оператором импульса. В общем случае оператор - это некоторое
правило для действия на функцию /, в результате которого получается
обычно некоторая другая функция. В данном случае правило
90
Глава 4
состоит в дифференцировании функции / и умножении ее на (-ih). Если
обозначать оператор некоторой буквой с тильдой, то три оператора
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 108 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed