Этот странный квантовый мир - Трейман С.
ISBN 5-93972-117-6
Скачать (прямая ссылка):
принципом неопределенности Гейзенберга.
Принцип неопределенности
Рассмотрим некоторую конкретную наблюдаемую, для примера, координату
частиц х. Существуют волновые функции, для которых пространственное
распределение вероятностей задается узким пиком вблизи выбранного
конкретного значения х. То же самое можно сказать про компоненту импульса
Рх. Но как впервые показал Гейзенберг, существует ограничение на то,
чтобы волновая функция одновременно являлась пиком для обоих величин. Для
данной волновой функции Ф мы можем найти пространственное распределение
вероятности. Но пока еще мы не говорим о том, как получить из Ф
распределение по импульсу. Для этого существуют определенные правила,
которые мы вскоре обсудим. Из них следует, что если пространственное
распределение является узким, то распределение по импульсу неизбежно
будет широким, и наоборот. Нет способа обойти этот вывод. Мерой ширины
любого распределения в среднем является "квадратный корень из среднего
квадрата отклонения". Проиллюстрируем это на примере координаты х
положения частицы, подразумевая следующее. Для данного распределения
вероятности можно вычислить среднее значение х, обозначаемое (ж); а также
среднее значение ж2, обозначаемое как (ж2). Если распределение по ж имеет
фор-
86
Глава 4
му острого пика при некотором ж, так что каждое измерение приводит к
одному и тому же значению х, тогда все значения х2 тоже будут одинаковы.
В этом случае (х2) = (х)2. Для всех других распределений, как нетрудно
видеть, (ж2) будет больше, чем (ж)2; не намного больше, если
распределение задано в виде пика и значительно больше, если распределение
широко размазано. Среднеквадратичное отклонение определяется как
Ах = у/ (ж2) - (ж)2.
Оно является полезным способом для характеристики ширины распределения.
Малые Аж означают узкое, а большие Аж - широкое распределение. Если нам
известно состояние Ф в определенный момент времени, мы можем получить
пространственное уширение Аж, а используя распределение вероятностей по
импульсам - среднеквадратичное отклонение Арх. Гейзенберг показал, что
для любой волновой функции Ф справедливо следующее неравенство:
Аж-A px^\h. (4.11)
Это соотношение устанавливает предел, с которым одновременно могут быть
известны две некоммутирующих наблюдаемых. Аналогичные ограничения
существуют для пар (у, ру) и (z, pz); для других пар наблюдаемых,
некоммутирующих между собой, тоже существуют некоторые ограничения. Нет
никаких ограничений только на одновременную измеримость, например,
величин жир9. Они коммутируют между собой. Принцип неопределенности может
быть выражен в достаточно общем виде для любой пары переменных, но мы не
будем их здесь выписывать, поскольку это требует достаточно тонких
технических упражнений. В квантовой механике существует и другое
неравенство, которое также часто цитируется, и которое включает в себя
энергию и время. Оно выглядит как принцип неопределенности, но имеет
другое происхождение, чем принцип Гейзенберга, обсуждавшийся выше.
Коротко остановимся на этом. Предположим, что состояние системы
описывается волновой функцией Ф(ж, у, z, t = 0) в какой-то начальный
момент t = 0. Это состояние определяет некоторое распределение по
энергиям; соответственно можно вычислить среднеквадратичное отклонение
для этого распределения АЕ, характеризующее ширину распределения. В
некоторый, более поздний момент t, волновая функция системы, конечно,
измениться. Но для достаточно малых t можно ожидать, что волновая функция
изменится очень мало. Можно спросить, сколько же времени должно пройти,
чтобы волновая функция стала существенно отличаться от своего начального
состояния? Назовем это время т. Слова "существенно отличаться" не
являются, конечно, очень точными. Чтобы определить их более точно,
поступим следующим образом. Можно показать,
Импульс
87
что время т связано со среднеквадратичным отклонением по энергии
неравенством
тАЕ Js П. (4.12)
Часто его воспринимают как соотношение неопределенности для энергии и
времени, но это неправильно. Это означало бы, что время является
динамической величиной, которая, конечно, меняется со временем! Но это
просто очевидно. Время является независимой переменной, от которой
зависят другие величины: волновая функция, распределение вероятностей
различных переменных и т. д. Время меняется само по себе - квантовое
распределение вероятности для него отсутствует (хотя, конечно, для
реальных часов существует множество причин говорить в практическом смысле
о вероятностном распределении точности часов). Уравнение (4.12) может
восприниматься лишь в том смысле, в каком оно изложено выше.
Мы уже отмечали, что для каждой физической наблюдаемой существует
конкретное уравнение на собственные значения, которое определяет спектр и
собственные функции. Собственные значения сами по себе, очевидно,
представляют непосредственный физический интерес. Соответствующие
собственные функции интересны в связи с определением вероятностей
