Этот странный квантовый мир - Трейман С.
ISBN 5-93972-117-6
Скачать (прямая ссылка):
после измерения различны. Какой станет новая волновая функция? Квантовое
утверждение состоит в следующем. Каким бы ни было состояние системы до
эксперимента, при измерении оно "кол-лапсирует" в собственное состояние
Un, соответствующее собственному значению А", полученному на
эксперименте. После этого волновая функция начинает меняться во времени
согласно уравнения Шредингера. Конечно, можно утверждать, что в этом
утверждении присутствует очень большая доля идеализации, хотя бы потому,
что, помимо других причин, процесс измерения не происходит мгновенно.
Более того, само понимание процессов измерения, которые мы рассматриваем
при анализе воздействия извне на нашу квантовую систему, содержит
глубокие технические и, что более важно, философские проблемы. Однако в
данный момент мы остановимся на тех предположениях, которые были
сформулированы выше.
До сих пор принципы квантовой механики, в основном, иллюстрировались на
примере отдельной частицы. Хотя обобщение на многочастичные системы может
быть сделано непосредственно, соответствующее математическое описание
становится существенно более трудным. Для многочастичных систем состояние
описывается волновой функцией,
(4.10)
(4.9)
84
Глава 4
зависящей от времени и координат всех частиц системы. Естественно, что и
потенциальная энергия будет зависеть от всех этих координат. В уравнениях
(4.1) и (4.2) возникнет сумма слагаемых, которые аналогичны первому из
левой стороны этих уравнений, по одному на каждую частицу, каждое
слагаемое со своей собственной массой и со своими координатами в
производных для каждой частицы. Скалярное произведение в (4.4) должно
быть расширено, чтобы учесть интегрирование по переменным положения всех
частиц. С учетом понимания этих замен, уравнения (4.1) и (4.2) останутся
неизменными. В противоположность одночастичной интерпретации, выраженной
в (4.6), произведение сейчас дает совместную вероятность распределения по
положениям всех частиц. Кроме того, нужно отметить, что необходимо учесть
спиновой угловой момент, который является динамической переменной для
таких частиц, как электроны, протоны и нейтроны. Спин мы учтем чуть
позднее.
Коммутирующие наблюдаемые
Для удобства последующего изложения остановимся на понятии линейной
независимости. Говорят, что функция F является линейной комбинацией п
функций ui, U2, ¦¦¦ ип, если она может быть "разложена>> на эти функциям
в соответствии с
F = с\и\ + c2U2 + ¦ ¦ ¦ + спип,
где Cj являются (возможно, комплексными) константами. Множество функций
ип образует, как говорят, линейно независимый набор, если ни одна из них
не может быть записана в виде линейной комбинации остальных.
Рассмотрим некоторое конкретное собственное значение Л интересующей нас
наблюдаемой. Может быть так, что существует только одна линейно
независимая функция и\, соответствующая данному собственному значению.
Тогда говорят о невырожденной ситуации. С другой стороны, может случиться
так, что существует два или более линейно независимых собственных
состояния с одинаковым собственным значением Л. В этом случае говорят о
вырождении. Обычно существование вырождения отражает тот факт, что
собственные состояния Л являются также собственными состояниями некоторой
другой наблюдаемой; назовем ее ц. В такой ситуации для нумерации
собственных состояний мы будем использовать второй индекс, записывая и\
Индексы говорят нам, что рассматриваемое состояние одновременно является
собственным состоянием первой наблюдаемой с собственным значением Л и
собственным состоянием другой наблюдаемой с собственным значением р. Две
наблюдаемых, для которых существуют одновременно общие
Принцип неопределенности
85
собственные состояния, называются коммутирующими. Если спектр дискретен,
то в состоянии и\ ^ обе наблюдаемых имеют определенные значения; или, как
мы будем говорить, "известны" одновременно. Если спектр непрерывен, тогда
существуют состояния (образованные суперпозицией близких соседних
собственных состояний), в которых обе наблюдаемые могут быть известны с
произвольной точностью. В зависимости от конкретного выбора наблюдаемых
может получиться так, что даже когда заданы оба значения Лиц, остается
еще некоторое вырождение, соответствующее одинаковым значениям А и ц. В
конце концов можно прийти к полному набору коммутирующих наблюдаемых, все
общие собственные состояния которых единственным образом определяются их
собственными значениями.
Три декартовых координаты ж, у, z образуют набор коммутирующих
наблюдаемых с непрерывным спектром. Поэтому можно построить определенную
волновую функцию, которая локализована одновременно при некотором
конкретном выборе трех переменных. То же самое справедливо для трех
компонент Рх, Ру, Pz импульса. Но можно выбрать наборы наблюдаемых, не
коммутирующих между собой; например, х и Рх не коммутируют между собой.
Для таких пар не существует состояний, в которых обе наблюдаемых могут
быть известны с неограниченной точностью; в этом случае они определяются
