Этот странный квантовый мир - Трейман С.
ISBN 5-93972-117-6
Скачать (прямая ссылка):
драматических преобразований, приведших к квантовой теории. Это может
раздражать, но это так. Все, что мы можем знать о динамическом состоянии
системы, содержится в ее волновой функции; и волновая функция, в общем,
не предполагает единственность результатов измерений, которые могут быть
выполнены над системой. Надо подчеркнуть, что именно Бор, а не какой-то
другой основатель квантовой механики вывел эту интерпретационную картину
из того, что рассматривалось выше. А структура уравнения Шредингера, по
крайней мере, математически поддерживала и согласовывалась с этой
интерпретацией.
Краткий обзор правил
Мы пришли к вероятностной интерпретации измерений положения частицы, но
это только начало. Что можно сказать о других переменных: энергии,
импульсе, угловом моменте, и т. д.? По каждой физической наблюдаемой
можно фактически задать три вопроса:
(1) Какова область значений, которые будут получаться в результате
измерения?
(2) Если система в некоторый момент находится в конкретном состоянии Ф,
то каковы вероятности получения различных значений при измерении?
(3) Какое состояние возникает сразу после измерения и какие конкретные
значения могут быть получены?
82
Глава 4
Для наблюдаемых положения мы уже рассмотрели вопросы 1 и 2 и нашли
(точнее постулировали), что, как и в классике, возможны все положения;
при этом функция распределения определяется соотношением (4.6). Для
наблюдаемой энергии ответ на первый вопрос состоит в том, что разрешены
энергии, которые являются соответственными значениями энергии (4.1); а
именно, те энергии, которым соответствуют хорошо ведущие себя решения
(собственные функции). Обобщение на остальные наблюдаемые сделаем
следующим образом. Каждой физической наблюдаемой соответствует свое
уравнение на собственные значения, аналогичные уравнению (4.1) для
энергии. Что именно за уравнения они представляют, мы пока разбирать не
будем, а обсудим чуть позднее. На данный момент будет достаточно принять,
что каждой физической наблюдаемой соответствуют хорошо определенные
уравнения, включающие в себя первоначально неопределенный параметр.
Значения этого параметра, для которых существуют хорошо определенные
решения являются соответственными значениями исследуемой переменной;
соответствующие решения являются собственными функциями данной
переменной. При этом надо помнить, что различным физическим величинам
будут соответствовать различные наборы соответственных функций. Тогда
ответ на 1 вопрос: какие возможные значения получаются в результате
измерений - дается возможным спектром наблюдаемой величины - множеством
собственных значений соответствующих данной наблюдаемой. Они и только они
могут быть получены при измерении.
Если система в некоторый момент времени находиться в собственном
состоянии интересующей нас наблюдаемой, то далее мы можем утверждать, что
при измерении в данный момент мы будем получать только соответствующее
собственное значение. В общем случае система, конечно, не будет
находиться в собственном состоянии интересующей нас наблюдаемой, или в
собственном состоянии какой-то другой наблюдаемой. Это приводит нас к
обобщению вопроса 2. Для произвольного состояния Ф результаты измерения
интересующей наблюдаемой будут распределены с некоторой вероятностью.
Каково будет распределение вероятностей? Легче всего сначала доказать
постулированный ответ для случая, когда спектр наблюдаемой является
счетным, или, что то же самое, дискретным. Пусть собственные функции ип
помечены индексом п, и пусть А" - собственное значение, соответствующее
гг-ой собственной функции Un. Предположим, что собственные функции
являются нормированными. Если система находится в состоянии Ф, то
квантовое правило будет следующим. Определим амплитуду вероятности Ап в
соответствии
К = К|Ф>, (4.7)
воспользовавшись определением скалярного произведения (4.4). Вероят-
Краткий обзор правил
83
ность Рп получить Л" принимается равной
р - А* А
1 п - п •
(4.8)
Для наблюдаемых положения и импульса, спектр которых непрерывен,
разрешенные собственные значения Л меняются непрерывным образом. Пусть и\
- собственная функция, соответствующая данному Л. В данном состоянии Ф,
бессмысленно спрашивать о вероятности получить конкретное значение Л,
смысл имеет лишь вероятность P(X)dX нахождения наблюдаемой в некотором
бесконечно малом интервале dX. Как и в дискретном случае, определим
амплитуду вероятности Д(А) в соответствии с
Для наблюдаемой, спектр которой является смешанным, т. е. одна его часть
дискретна, а другая - непрерывна, соотношение (4.7) и (4.8) используется
для дискретной части, (4.9) и (4.10) для непрерывной.
Есть еще третий вопрос, который касается возможных результатов и
распределения вероятностей. Что станет с состоянием системы сразу после
того, как проведены измерение и получены конкретные значения А" (для
простоты будем полагать, что спектр дискретен). Поскольку система
меняется вследствие воздействия во время измерения, ее состояния до и
