Световые приборы - Трембач В.В.
ISBN 5-06-001892-Х
Скачать (прямая ссылка):
Зеркальные отражатели светильника должны обеспечивать заданные значения силы света. Поэтому форма зеркального отражателя светильника должна быть такой, чтобы его поверхность создала для различных направлений пространства необходимую по
221
размерам светлую часть. В этом и заключается задача расчета зеркального светильника. Для этого необходимо найти уравнения зеркальной поверхности, по которым определяется форма отражателя. В работах Н. Г. Болдырева, В. Д. Комиссарова и других найдены уравнения зеркальной поверхности, решения которых позволяют рассчитать форму зеркальных отражателей.
Для расчета формы зеркального отражателя необходимо иметь такое уравнение, которое давало бы зависимость радиус-вектора г некоторой точки М от углов ф, г|), координирующих искомый радиус-вектор (падающий луч), и углов а, р, координирующих отраженный
луч. Найдем уравнение для круглосимметричной зеркальной поверхности. Условием такой поверхности является выполнение закона зеркального отражения для меридиональной плоскости. Это означает, что луч падающий г, луч отраженный г' и нормаль N к точке поверхности отражателя должны лежать в одной и той же меридиональной плоскости \|), при этом угол р, ориентирующий меридиональную плоскость распространения отраженного луча, равен г|). Таким образом, условием круглой симметрии становится уравнение P = t|5 (рис. 5.3, б).
Из сказанного ясно, что зеркальная форма круглосимметричной поверхности может характеризоваться плоской кривой (профильной) в полярных координатах л(ф) или в прямоугольной системе координат^ (рис. 5.3, а).
Дифференциальное уравнение круглосимметричного отражателя. Возьмем бесконечно малый участок профильной кривой зеркального отражателя ММ углового размера йф. Построим отрезок окружности радиуса г, пересекающий ради-диус-вектор г\ в точке М'.
Треугольник ММ'Mi ввиду бесконечной малости можно считать прямоугольным. Тогда M'Mi=MM' tg i при dr = гёф tg t, откуда
¦M yr=o
X
Рис. 5.3. К выводу дифференциального уравнения круглосимметричной зеркальной поверхности
222
dr/r=tg/d<p, (5.4)
где i— (ф—a)/2 — угол падения луча в точку М (рис. 5.3, а).
Интегрирование уравнения возможно при известных углах ф и и, численными методами, например, применяющимися в программах для ЭВМ методом Рунге—Кута.
Заменяя кривую г(ф) ступенчатой кривой, а площадь под ней прямоугольниками с размерами гср и Aq), можно выполнить при-Олиженное численное интегрирование этой кривой и получить уравнение для расчета узловых точек профильной кривой симметричного зеркального отражателя.
Если выбрать приращение угла ф определенной величины Дф, то (5.4) можно записать в конечных приращениях:
Inrj — lnrj^^tgicpA?, (5.5)
|'де/ср=(фср—аср)/2. Переходя к десятичным логарифмам = -0,434 и взяв Аф=10° или Аф)=0,17 рад, получаем расчетное уравнение численного интегрирования:
О = 0,076 tsicр. (5.6)
И случае, если интервалы углов ф будут взяты иными, необходимо рассчитать значение нового коэффициента при tg/cp, соответствующего принятому приращению Аф.
Уравнения профильных кривых зеркальных отражателей. Уравнение (5.6) дает полярные координаты средних точек гср, фср для интервалов углов Аф, при этом профильная кривая получается лекальным соединением этих точек. Это связано с некоторой неточностью определения формы зеркального отражателя. Она исключается, если профильные кривые будут иметь определенную форму, описываемую аналитической зависимостью [3].
Тороидная зеркальная поверхность. Рассмотрим простейший зеркальный отражатель, образованный вращением отрезка М0МК окружности радиуса R, с центром в точке Оц, ориентируемой координатами /ц и 0. Конструкторы часто используют
такой метод построения зеркального отражателя (рис. 5.4). Запишем уравнение такой профильной кривой в полярных координатах г, ф относительно светового центра О, для чего рассмотрим прямоугольный треугольник МОцт. Из него следует, что
г=Мт—От или _____________________
r=Y R2—/«sin2(f — 6)—/4cos(® — в). (5.7)
Рис. 5.4. К выводу уравнения профильной кривой то-роидного отражателя
223
Зеркальному отражателю, профильная кривая которого описывэ ется уравнением (5.7), соответствует однозначная зависимоси между углами, ориентирующими осевые падающие ОМ и отражен ные МК. лучи, а=ср—2i. Из треугольника МОпт угол
i =arcsin|-^- sin (ср —0)
,если ln/R = t, то искомая зависимость
а(ф) окончательно выражается так:
а = ср + arcsin [t sin («р —-0)]. (5.8",
Из (5.8) видно, что угол а для соответствующего угла ф определяется двумя параметрами t и 0. Например, при 0 = 0 и ^=0,5—а~ «0 для ф от 0° до 10° имеем известный в геометрической оптике случай сферического зеркала, фокус которого находится посередине радиуса кривизны.
Рис. 5.5. Зависимость а(ф):
а — кривые а(ф—0); б — координаты а и (ф—G) экстремальных точек для 0,5<*<1
По (5.8) было рассчитано [20] семейство кривых а(ф—0) для различных значений параметра t (рис. 5.5). Здесь положительные значения а относятся к лучам, пересекающим ось симметрии отражателя OZ, а отрицательные — к лучам не пересекающим ось.
