Световые приборы - Трембач В.В.
ISBN 5-06-001892-Х
Скачать (прямая ссылка):
Для решения этой задачи с помощью ЭВМ рациональнее обратиться к общему аналитическому описанию взаимодействия отражателя и СТ, основанному на анализе падающих ЭО. С расчетом светлой части методом «обратного хода лучей» можно ознакомиться в случае цилиндра вдоль оптической оси в
[14], а при расположении его перпендикулярно оси OZ [18].
Уравнения падающего и отраженного лучей. Общее аналитическое решение задачи нахождения светлой части основано на векторном представлении лучей и нормалей зеркальной поверхности, а также на применении линейной меры описания геометрических параметров СТ и, следовательно, падающих ЭО.
Зададим выбранное направление внешнего пространства, ориентирующее луч, падающий на точку Mj, вектором а0. После отражения внутрь прибора его направление будет определяться вектором а (рис. 4.65). Равенство углов паде-
Н]
Рис. 4.65. Векторы а, а0, п
Рис. 4.66. К расчету вектора а
196
пип и отражения позволяет определить направление вектора а как разность m-ктора 2(а0п)п, имеющгго направление нормали, и вектора а0 (рис. 4.66)
а = 2 (а0в) п
(4.84)
где п — вектор нормали к точке Mj.
Проекции этих единичных векторов на прямоугольные координаты (рис. 4 67)
вектора а0 а0х = sin a cos р, а0у = sin а sin а0 = — cos а; и вектора а аХ ~ 2 (аоп) пх — а0х ау = 2 (а0п) пу — ааУ а/ = 2(ап)лг — а02.
нормали п пх = — bin 8 cos ф, пу — — bin Ь sin ip, П? — — COS i>
(4.85)
(4. 8'О
Уравнения точек М отражателя, видимых светлыми по направлению а.
Для параболоидного отражателя, в фокус которого помещено начало декартовых координат, точки его поверхности могут быть выражены через угловые координаты ф, ф (рис. 4.68) н фокусное расстояние { следующими формулами:
*0T = 2/tg -|-cos^,
Y0T = V tg-|- sin^,
(4.87) f),
где 2f\.g~ = R радиус
чкваториального сечсния, проходящего через точку М отражателя.
Уравнения (4.86) и (4.87) позволяют записать м параметрической форме формулы, определяющие направление «обратного луча», отраженного от зеркальной поверхности в точке по направлению к СТ:
X = Х01 + ах 'Г,
Y — Yот + луТ , (4.88)
Z = Zm + azT, где Т — параметр вектора а (тангенс его угла наклона).
197
Рис. 4.67. Расчет прямоугольных координат векторов а, п
Так как следует найти условия, фиксирующие падение отраженного «обратного луча» на СТ, то необходимо определить положение цилиндрического СТ относительно фокуса и оптической оси отражателя (рис. 4.68). Для этого зафиксируем координаты геометрического центра Ост цилиндра (Хот, Уст, Zc?) и единичный вектор m вдоль оси цилиндра. Расчет упростится, если связать с произвольно ориентированным цилиндром систему координат (х', у', z'), центр которой совместим с точкой Ост, а ось 0CT2' — с осью цилиндра (вектор т). В этой системе координат уравнение цилиндра может быть записано в виде
— 112 < Z' < 1/2.
Теперь можно определить уравнения точки пересечения отраженного «обратного луча» с СТ, для чего выразим координаты точки М отражателя и проекции вектора а в новой системе координат x'y'z'. Согласно уравенниям преобразования координат [19] получим координаты точки
хот = *i*0( +clZor + ^1 >
Коэффициенты матрицы перехода a,-, bi, с,-, d( из системы XYZ в систему x'y'z' определяют по формулам, данным в [19].
С учетом преобразования координат уравнение, определяющее направление «обратного луча» в новой системе координат x'y'z', записывается в следующем виде (с учетом координат х'0т, у'от, z'0t):
Точка пересечения луча с цилиндром определяется путем совместного решения (4.89) и (4.92) относительно Т. После преобразований получаем квадратное уравнение параметра Т
Значения параметра Т в (4.93) ограничены следующими неравенствами:
(х') + (уТ=ау 4,
(4.89)
Уот = агХot -f b-jY<jt + + d'i,
20T = + bgX U1 + Cn,Zut + d3,
(4.90)
проекции вектора a (4.86)
aX — aiax + bvaY + c^az, dy = Д2 aX + b'2&y + C'2aZ>
az — aiax + hay + с-Фг-
(4.91)
(4.92)
(4.93)
при аг'>О
-(//2 +z'm)/a'z < Т < (//2-^r)/a';
(4.94)
198
при a/<0
{42-z'm)laz<T <-(l/2 + г«К-
Анализ (4.93) и (4.94) позволяет сформулировать условия выделения светлых точек на поверхности отражателя (точек, «обратные лучи» от которых пересекают СТ):
если детерминант уравнения (4.93) меньше нуля, то не происходит пересечения СТ и точки М (ф, г|)) с такими лучами по направлению а, р ие светят;
если детерминант уравнения (4.93) больше нуля и хотя бы один из корней Т\ и удовлетворяет неравенствам (4.94), то точка М (ф, г|)_) принадлежит светлой части отражателя, рассматриваемого по направлению a, Р;
Рис. 4.68. К расчету координат точки М^- и СТ
если детерминант уравнения (4.93) больше нуля, но неравенства (4.94) не выполняются, то необходимо проверить возможность пересечения «обратного луча» с торцами цилиндра, что определяется выполнением условий
< Tm\nf\T2 > Гтах чТг<ТтЫАТх>Т
тах * (4.95)
где Гт!п=—(I/2—z'ot)/аг' и rraai=(7/2 + 2'oT)/a/, Л —знак логического умножения (И); v —знак логического сложения (ИЛИ).
Уравнения (4.93) и (4.94) позволяют помимо определения светлых точек отражателя решить вопрос о яркости этих точек по точкам пересечения «обратного луча» с поверхностью СТ. Найдя по (4.93) параметр Т, можно вычислить координаты точек пересечения по (4.92) и, имея кривые распределения яркости СТ L (ф, xJj), определить яркость иайдениых точек. Считая отражатель идеально зеркальным и пренебрегая потерями в воздухе, приписываем эту яркость, умноженную иа р, соответствующим его точкам М.
