Световые приборы - Трембач В.В.
ISBN 5-06-001892-Х
Скачать (прямая ссылка):
где Дф=(ф;—Ф/—1) :—угловая ширина зоны, рад; /ср— угол падения луча в среднюю точку зоны фср; е — поправочный член.
Если пренебречь поправочным членом и угол Дф выразить в градусах, то получим известную формулу площади круглосимметричной зоны:
dl = r d<p/cos i,
(3.53)
Z
щадь его можно определить по следующей формуле:
Если выражение (3.54) проинтегрируем в пределах ф/_ь ф3-, то получим площадь круглосимметричной зоны для любой формы профильной кривой:
Рис. 3.45. К расчету площади поверхности круглосимметричной зоны
Для получения расчетных формул Ач интегрирование выражения (3.55) можно провести
А<р =
irMtp Sin tpcp
(3.57)
90 cos I сp
114
Погрешность формулы (3.57) может быть в общем виде оценена следующим выражением: е=/2(ф)Дф3/12, где /2(<р)—вторая производная по ф.
Погрешность формулы (3.57) для зон, имеющих профильную кривую в виде отрезка окружности, не превосходит 3% при Дф^
===10°, ?ср^60°.
Для получения расчетной формулы площади поверхности несимметричной зоны можно последнюю разделить меридиональными плоскостями на ряд участков углового размера Дф, Дф. В пределах каждого участка при достаточно малых Дф и Дг]э (меньше 10°) функция /(ф, г]э) считается постоянной и равной ее среднему значению /(фср, ifcp). При этом условии площадь поверхности элемента несимметричной зоны может быть рассчитана аналогично площади круглосимметричной зоны [см. (3.57)]:
COS 1<Рср COS <Ф
где гср — радиус-вектор средней точки участка зоны с угловыми размерами ДфДф; фср, трср — угловые координаты той же точки; ?фср1 h ср — проекции угла падения луча средней точки участка ¦ зоны на меридиональную и экваториальную плоскости.
Если выразить Дф и Дг|э в градусах, то расчетная формула для определения ДЛф* примет следующий вид:
л2 sin <рсрД«рЛ4»
ДЛф<ь = —™;----------------Г2 . (3.59)
w 180 COS*. COS Л, СР “ср ^ср
Площадь поверхности всей зоны может быть найдена суммированием по углу г|э:
2*
(3.60)
о
Точность этой формулы можно считать не ниже точности формулы (3.57), так как на малом участке Дг]э для большинства плавных поверхностей i?cp=rcp sin фСр=сопз^ При резком изменении зависимости -Rep (ip) следует уменьшить углы Дг|э, а при больших ошибках значений ДЛФ^, рассчитанных по (3.59), уменьшить и углы Дф. Расчет всей площади поверхности несимметричного отражателя проводится по формуле
^шах 2л
Л=2 (3.61)
т» о
Площадь проекции светлой части зоны. Второй очень важной операцией по расчету силы света зоны оптического устройства является отыскание площади проекции светлой части на плоскость,
перпендикулярную некоторому направлению а, р. Найдем площадь проекции на примере круглосимметричной зоны, имеющей светлую часть в пределах углов фЬ <р2 и ±ij)=±p (рис. 3.46, а). Середина светлой части совпадает с плоскостью наблюдения \|з = р=0 (углы Р определяются на полярном графике углов а, р по ФОСТ). Возьмем бесконечно малый элемент d2Aa поверхности зоны, светящейся по направлению а, р = 0. Проекция площади поверхности этого элемента на плоскость, перпендикулярную направлению а, Р=0, определяется выражением
d А
при '
= dVL I п
| = dA cos ал
(3.62)
где п — единичный вектор нормали к элементу; а — единичным вектор направления а; <та — угол между указанными векторами (рис. 3.46, б).
Для элемента d2Аа, лежащего посередине светлой части и имеющего координату 1|) = 0, угол <7а=(6—а), где 6 — угол, составленный нормалью к элементу и осью симметрии OZ. Для любого другого элемента, удаленного от меридиональной плоскости ф=0 на некоторый угол гр', проектирующий угол ва находится из сферического треугольника (рис. 3.46, в):
cos ов = cos 8 cos а
-{-зшаБтйсозф'. (3.63)
В этом случае площадь проекции находится интегрированием (3.62) по углам ф и тр’в пределах светлой части зоны:
Рис. 3.46. Расчет площади проекции светлой части круглосимметричной зоиы
пра
;2 Ц dM.coso,,. (3.64)
<р, о
Выразив dM = sin ф^АфАф/соэ г и заменив d2А выражением /(ф)dфd'll^ определим площадь проекции светлой части по следующей формуле:
‘пра ‘
cos 8 cos а -j-sin 8 sin а
sin *
(3.65)
116
Основываясь на теореме о среднем, площадь проекции Авра светлой части можно определить по следующей формуле:
A.p.*=[cosa*] 2 jt/(<p)d<p = |cosa*| Д,. (3.66)
Таким образом, искомый косинус проектирующего угла выражается несколько измененной формулой по сравнению с (3.63):
sin ф
cosa^cosacosS-j-sincisinS--------— , (3.67)
где б=(ф±а)/2 — угол, составленный нормалью к светлой части зоны в некоторой точке и осью симметрии OZ\ фа=ра— угол, составленный плоскостью наблюдения и меридиональной плоскостью, касающейся светлой части зоны (максимальный его размер о|)Юах= = Pmax) (см. рис. 3.46, а).
Трудность применения (3.67) состоит в том, что величина угла б неизвестна. Однако можно принять значение б, равное среднему его значению:
8=(§i -j-82)/2> (3.68)
где б1=(ф1±<ц)/2 — угол, составленный осью OZ и нормалью к верхнему краю светлой части зоны (ф]); бг=(фг±а2)/2 — угол, составленный осью OZ и нормалью к нижнему краю светлой части зоны (фг).
Углы ф! и ф2, определяющие края светлой части зоны в плоскости ф = 0, определяются по функции а(ф) с помощью углов ai и аг, ограничивающих ФОСТ в плоскости р=0 (см. рис. 3.46, а).
