Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
компоненты "скорости" жидкости для обоих исследуемых интервалов выглядят
так:
= Г959ч
ds ds ds v'ds ' 1У0-9'
Подставляя эти величины в (95.8), получаем компоненты тензора энергии -
импульса:
Т\ = Т\ = Tl = -р0, Т\ = Роо, (95.10)
которые можно для идеальной жидкости подставить в (95.3) и (95.6).
Прежде всего, найденное в случае идеальной жидкости равенство между
радиальным натяжением Т\ и поперечными на-
2 3
тяжениями T<i = Тз позволяет получить очень простое выражение
1 2
для градиента давления. А именно, приравнивая Т\ и взятые из (95.3),
получаем
* - х (21 _ W + AL2 + = 0
е V 2 4 4 2г г г* }' г* и'
Умножая это уравнение на 2/г и перегруппировывая члены, переписываем его
в виде
Сравнивая последнее уравнение с (95.3) и (95.10), находим, что оно
эквивалентно уравнению
~fa~ + (Роо + Ро) ~2 = 9, (95.11)
которое является релятивистским аналогом ньютоновского
§ 95. СТАТИЧЕСКИЙ СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЙ ИНТЕРВАЛ 251
выражения для зависимости давления от гравитационного потенциала:
Тот же результат (95.11) получается и в случае изотропных координат, если
произвести те же операции': приравнять выражения Т\ и Т\ из (95.6), затем
умножить полученное соотношение на 2/г и произвести соответствующую
перегруппировку.
Таким образом, в случае сферически симметричной статической системы,
состоящей из идеальной жидкости, мы можем придать интервалу стандартную
форму:
ds2=-exdr2-rW-г2 sin2 0 dy2-\re',dt2,
X=X(r), v=v(r), t95'12)
причем
8зтр0 = e~k + 7Г j -+ Л,
о _i / v" X'v' . v 2 . v' - V\ , .
8np0-e 4 4~ *' -§7- J "i- Л'
8np00 = e~}- ^ ~j f -p. - A,
dp<> (Poo + Po) v'
(95.13)
dr 2
или в изотропной форме:
ds2 - - e'l{dr2jrr2dQ2-\-r2 sin2 0 dq>2) -f eydt2,
(x=(Ji(r), v=v(r), (95.14)
причем
Snp.-e-^+^ + ^ + A,
"ч-.^Н-'г + т + х + ^ + л,
8"Р" = - (p" + + "T")- Л'
dp о (Poo 4" Po) v'
dr ~ 2
В заключение следует заметить, что, выражая интервал через распределения
плотности и давления, надо помнить, что си-
(95.15)
252
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
стема (95.13) или (95.15) выражает лишь исходные три условия. Это
позволяет нам при разрешении этих систем заменять более сложное из двух
выражений для давления более простым и физически прозрачным выражением
для градиента давления.
§ 96. Внешнее и внутреннее решения Шварцшильда
Прежде чем начать изучение интервалов более сложного вида, покажем, как
использовать соотношения, найденные в предыдущем параграфе, для получения
явных выражений рассмотренных в нем интервалов. В §82 мы уже пользовались
соотношениями (95.3), получив с их помощью выражения для интервала вблизи
точечной притягивающей частицы. Можно, однако, убедиться, что оно равно
применимо и к пустому пространству, окружающему конечную статическую
сферически симметричную систему. Поэтому впредь будем называть этот
результат внешним решением Шварцшильда.
Чтобы получить это внешнее решение, будем исходить из выражения для
интервала (95.1):
ds2--eldr2-rW-г2 sin2 6 d($2-\-e?di2, (96.1)
и положим равными нулю все компоненты тензора энергии - импульса (95.3),
поскольку мы ищем решение для пустого пространства, окружающего сферу из
вещества. Последнее дает нам три дифференциальных уравнения:
- А = 0, (96.2)
которые, как легко проверить, имеют решение, позволяющее представить
интервал в виде (§ 82)
ds2 = " "----2. r4Q2 ~ Г2 Sin2 0 J(P2 +
- е~х j fV_ + 7У-) + 7Г- А = 0,
л->. 1 Г v" XV | %/2л. v' - Я'
4 | 4 | 2 г
е-Ч -тИ А= 0,
+ (i (96-3)
где 2т - константа.
Это решение справедливо повсюду в пустом пространстве вне сферы и должно
переходить внутри сферы в другое решение, зависящее от свойств вещества,
из которого состоит эта сфера.
§ 96. ВНЕШНЕЕ И ВНУТРЕННЕЕ РЕШЕНИЯ ШВАРЦШИЛЬДА 253
Чтобы получить такое внутреннее решение, разберем вслед за Шварцшильдом
частный случай (см. [60], стр. 424), когда рассматриваемая сфера
заполнена несжимаемой идеальной жидкостью, имеющей постоянную
собственную плотность роо-
Тогда в соответствии е (95.13) будем считать, что внутренность
сферы описывается уравнениями
8пр0 = (^ + тг) - 75- + Л, (96.4)
8яр00 = е~% ----тг) + 7г - Л, (96.5)
dp о (Роо Ро) v'
dr
(96.6)
Попытаемся их разрешить, используя условие постоянства плотности внутри
сферы роо и предполагая, что давление на границе сферы равно нулю.
Поскольку роо и Л постоянны, второе из уравнений, (96.5), нетрудно
проинтегрировать. Напишем сразу результат (в справедливости которого
легко убедиться, производя дифференцирование) :
р-\ _ 1 Л + 8яр00 , л_ с
з 1 Т'
Здесь С - константа интегрирования; приравняем ее нулю, чтобы уничтожить
особенность в начале координат, и перепишем решение в виде
<^"1 - Ж-= л+кг <96-7)
Далее, имея в виду найти выражение для v, проинтегрируем уравнение
(96.6); результат благодаря постоянству роо оказывается очень простым:
- 1 2v
(Роо + Ро) = const е
Комбинируя его затем с выражениями (96.4) для ро и (96.5) для роо,
получаем
е е~х -f -¦'j = const, а подставляя сюда величину е~х из (96.7), приходим
