Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
теперь к одинаковым численным результатам. Кроме того, постоянная к
определяется теперь просто как
х = 8л, (81.5)
*) Современные значения: с = 2,99793-1010 см/сек, k -6,673-10-8 см3/г-
сек2.
§ 82. ИНТЕРВАЛ ШВАРЦШИЛЬДА
209
и релятивистское уравнение (78.8) может быть записано следующим образом:
- 8л7\п, = Я^ - -g-Kguv + Aguv (81-6)
Все вычисления далее будут проводиться в этих единицах. Результаты,
однако, всегда можно перевести в систему СГС с помощью следующих
соотношений, связывающих длину, время и массу L, Т и М в единицах СГС с
их величинами I, t и m в новых единицах:
L = l см,
Т - 2>998.10ii-= 3,335-10-Чсек, (81.7)
w (2,998- Ю10)2 , 1Л28
М= -----------г-т - 1,349-102 т г.
6,664-10
§ 82. Интервал Шварцшильда
В качестве особенно важного применения общей теории относительности мы
получим теперь выражение для линейного элемента (формула интервала) в
пустом пространстве, окружающем гравитирующую точечную частицу. Полное
решение этой проблемы было впервые получено Шварцшильдом [60] и имеет
большое значение, поскольку с его помощью можно описывать гравитационное
поле, окружающее Солнце, а также для вывода формул трех "решающих
опытов", в которых обнаруживаются различия между предсказаниями
ньютоновой теории тяготения и более точными предсказаниями общей теории
относительности.
Метод решения этой проблемы хорошо известен, так что для наших целей
будет достаточно лишь наметить его основные черты. Учитывая статический и
сферически симметричный характер поля, окружающего гравитирующую точечную
частицу, можно (§ 95) выбрать координаты г, 0, <р и (, в которых линейный
элемент имеет простой вид:
ds2 --ekdr2-r2dQ2-г2 sin2 0 dq>2-\-evdt2, (82.1)
где Я и v зависят только от г. Далее, компоненты тензора энергии-
импульса Т'1, соответствующие этой формуле интервала (см. ниже уравнение
(95.3)), принимают значения
8л71 = -е~ь(- + 4-
210
ГЛ. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
где штрихи означают дифференцирование по г, а космологическая постоянная
Л положена равной нулю.
В пустом пространстве, окружающем рассматриваемую нами частицу, все
компоненты тензора энергии - импульса, очевидно, равны нулю. Комбинируя
первое и третье из полученных уравнений, мы приходим к результату
V=-v', (82.3)
а комбинируя первое со вторым, получаем
v" -f v'2 + ~ - 0. (82.4)
Последнее уравнение, как легко убедиться, имеет решение
ег = а + -^, (82.5)
где а и Ь - постоянные интегрирования.
Далее, следует ожидать, что на больших расстояниях от частицы, т. е. при
г-*-оо, линейный элемент приобретает вид, соответствующий специальной
теории относительности:
ds2=-dr2-r2dQ2-г2 sin2 0 dq>2-\-dt2, (82.6)
где ёк=ё*=\ в единицах, принятых в предыдущем параграфе. Тогда уравнение
(82.5) может быть переписано так:
ev=1_?2L. (82.7)
Здесь постоянная а положена равной единице, а постоянная b заменена на -
2пг, где т, как это будет видно из физического обсуждения, имеет смысл
массы частицы*). Далее, согласно
(82.3) мы имеем
е-ь = 1 - . (82.8)
Если подставить теперь два последних выражения в первое и третье из
соотношений (82.2), тоТ'= Т4, как это и требуется обратятся в нуль.
*) Величина 2т или в обычных единицах
2km г& = ~
называется гравитационным радиусом. Он играет важную роль масштаба. На
расстояниях гравитационные эффекты малы (формулы часто разла
гают по степеням qr"). Напротив, при г-ге релятивистские эффекты
становятся определяющими. Для Земли г"= 0,886 см, для Солнца г 2,95 км
(Прим. ред.), g
§ 82. ИНТЕРВАЛ ШВАРЦШИЛЬДА
Подставляя окончательно (82.7) и (82.8) в общее выражение
(82.1), мы можем написать линейный элемент в окрестности притягивающей
точечной частицы - решение Шварцшильда - в виде
ds2 = - J^j- - rW - г2 sin2 6 dq>2 + (1 dt2. (82.9)
Так как этот результат был получен с помощью выражений для компонент
тензора (82.2), в которых было положено Л=0, то это решение
соответствует, согласно (78.12) и (78.13), уравнениям Эйнштейна для
случая пустого пространства:
Легко, однако, использовать полное выражение для тензора энергии-
импульса (см. (95.3)), не пренебрегая космологическим членом, и получить
Это соответствует более общим уравнениям в пустом про-
Сравнивая два выражения для линейного элемента (82.9) и
(82.10), мы видим, что, как уже отмечалось в § 78, действие A-члена на
поле, окружающее притягивающую точечную частицу, усиливается с
увеличением размеров рассматриваемой области. Следовательно, поскольку
движение планет в действительности оцисывается с большой точностью
формулой (82.9), мы можем заключить, что Л-член во всяком случае
настолько мал, что не дает заметных эффектов в области порядка размеров
Солнечной системы.
Частный вид линейного элемента Шварцшильда (82.9) зависит, конечно, от
выбора системы координат; зачастую удобнее использовать его выражения в
других системах координат. Подставляя г вместо г с помощью соотношения
R^=0.
ds2
2 т Л
rW-r2 sin20d<p2 + (l - - --^-r^dt2.
(82.10)
странстве:
Agfir/.
