Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
справедливо соотношение (37.9):
= 0, (78.2)
дхv
полученное нами при рассмотрении в § 37 механики сплошных сред.
Эти соображения оказались для Эйнштейна достаточными, чтобы написать в
качестве релятивистского аналога уравнения Пуассона соотношение
Ruv---2~ R8vv г - x7'(iv • (78.3)
Здесь Rnv-свернутый тензор Римапа - Кристоффеля; R - инвариант,
полученный дальнейшим свертыванием этого тензора; А - так называемая
космологическая постоянная, смысл которой обнаружится ниже; и -
константа, связанная с обычной постоянной гравитации некоторым множителем
(что будет показано в § 80, где уравнение Пуассона будет получено из
(78.3) в качестве первого приближения), и Т^ - тензор энергии - импульса,
который определяют в общей теории относительности, придавая его
компонентам в собственных координатах (а следовательно, и в любой системе
естественных координат) значения, которые были бы в согласии со
специальной теорией относительности.
Соотношение (78.3) вполне удовлетворяет всем перечисленным выше условиям.
Оно приводит в случае слабых гравитационных полей к уравнению Пуассона в
качестве первого приближения, как будет показано в § 80. Оно связывает
десять гравитационных потенциалов guv и их производные с компонентами
тензора энергии - импульса Т^у. Это уравнение удовлетворяет принципу
релятивистской ковариантности, так как записано в тензорном виде, а
потому справедливо во всех системах координат, если справедливо в одной.
Оно не содержит также производных от guv выше второго порядка.
Кроме того, следует отметить, что введенное соотношение обеспечивает
справедливость условия (78.2), записанного в естественных координатах
самым общим образом. Действительно, легко показать, пользуясь
определением тензора Римапа - Кристоффеля, что соотношение
(Vv - -j- Rg"v + AgBvj = о (78.4)
является тождественным при любом значении постоянной Л. Последнее же
приводит к тому, что в качестве фундаментального уравнения механики,
справедливого в любой системе координат,
§ 78. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ПОЛЯ ПРИ НАЛИЧИИ МАТЕРИИ
197
мы имеем
(Tnv)v =, ^ + rSvT"v + TlvT"a = 0 (78.5)
дх
или в специальном случае естественных координат, когда символы
Кристоффеля исчезают, получаем
??=0. (78.6)
В связи с этими уравнениями надо подчеркнуть два следующих
обстоятельства. Во-первых, что можно показать, что
Я "*v -4-
с произвольной постоянной А есть наиболее общий тензор второго ранга,
построенный лишь из g^v и его производных первого и второго порядка,
свернутая ковариантная производная которого (78.4) должна тождественно
равняться нулю. Во-вторых, что эти четыре тождественных соотношения
должны выполняться, иначе решение десяти уравнений поля (78.3) для десяти
компонент g".v не будет допускать четырехмерных преобразований координат
- условие, которое нельзя нарушать.
Мы видим, что есть силы, которые заставляют нас принять, по крайней мере
условно, уравнения Эйнштейна (78.3) в качестве уравнения поля
релятивистской теории гравитации. Полное оправдание введения этих
соотношений, естественно, зависит от соответствия их предсказаний
результатам наблюдений. Чтобы решить этот вопрос, можно было бы сделать
следующее: воспользоваться полевыми уравнениями (78.3) с какими-либо
заданными распределениями материи и энергии для предсказания зависимости
тензора g^v от используемых координат, а затем сравнить результаты этого
предсказания с наблюдаемыми величинами guv. Теоретически наблюдаемые
величины g^v могут быть, конечно, получены прямыми измерениями
пространственноподобных и времениподобных интервалов и последующим
применением формулы ds2=guvdx^dx?, Практически, однако, такие прямые
измерения не могут быть выполнены с точностью, достаточной хотя бы для
того, чтобы различить "плоское" и "кривое" пространство. Источник наших
точных знаний gnV - наблюдения за движениями астрономических тел с
последующим извлечением Urn. из выражения для траекторий
rd2x° . dx11 dxv
198 ГЛ. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Поднимая индексы, можно переписать полевые уравнения
(78.3) в различных формах:
- кТnv - Knv 2~ Rgiw "f" ^bUV, (/8.8)
- = К--Т Ы + А*;, (78.9)
- *7>v----------------------i- Rg"v f Ag"v; (78.10)
свертывая (78.9), мы, очевидно, получаем
кТ=R-4Л. (78.11)
В пустом пространстве, когда равны нулю все компоненты тензора энергии -
импульса, легко найти, используя (78.8) и
(78.11), что полевые уравнения приобретают простой вид:
R^=Ag^. (78.12)
Однако (как уже отмечалось в предыдущем § 77) в пустом пространстве
движение планет описывается в действительности с громадной точностью
более простыми уравнениями:
Ru"=0. (78.13)
Следовательно, если использовать то, что (см., например, уравнение
(82.10)) эффекты от Л-члена возрастают с увеличением размеров
рассматриваемой области, можно заключить, что теоретическая константа Л
(введенная выше лишь с целью получить наиболее общее выражение тензора
второго ранга с исчезающей ковариантной производной (78.4)) либо
