Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
отмечалось, что ковариантные выражения специальной теории относительности
для интервала и для траекторий свободных частиц и световых лучей
применимы и в "кривом" пространстве - времени, связанном с постоянными
гравитационными полями. Мы должны теперь показать, что это действительно
согласуется с требованиями принципа эквивалентности.
Для того чтобы проверить это для случая интервала
ds2=g>lvdx>ldx\ (74.10)
мы прежде всего должны доказать, что всегда существует преобразование,
которое обращает в нуль первые производные от компонент метрического
тензора в любой выбранной точке. Это есть не что иное, как известная из
дифференциальной геометрии теорема о возможности введения "геодезических"
координат. Чтобы выполнить это, перенесем начало координат в интересующую
нас точку, а затем перейдем от нештрихованных координат к штрихованным
при помощи подстановки
*e = (rap)0g? *'v, (74.11)
где (Гар)о - символы Кристоффеля первого рода, заданные в начале
координат. Теперь легко убедиться, что в начальной точке новой системы
координат выполняется соотношение *)
§4 = 0. (74.12,
Обеспечив требуемое постоянство метрического тензора в начале координат,
дальнейшее преобразование к координатам, в которых компоненты в данной
точке - это либо ±1, с2, 0, либо +1, 0, можно произвести аналогичным
способом. Следова-
*) См., например, монографию Эддингтона [56], гл. III, § 36.
190
ГЛ. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
тельно, выборковариантного выражения (74.10) в качестве выражения для
интервала в общей теории относительности как при наличии, так и в
отсутствие гравитационных полей согласуется с требованиями принципа
эквивалентности.
Перейдем теперь к рассмотрению ковариантного выражения
Т + = 0, (74.13)
описывающего в специальной теории относительности траектории свободных
частиц или световые лучи (73.13). Сразу видно, что опять-таки это
выражение удобно принять как постулат, справедливый в общей теории
относительности в присутствии гравитационных полей. Действительно, в
естественных координатах символы Кристоффеля в (73.13) в выбранной нами
точке обращаются в нуль согласно (74.12), и общая формула (74.13)
сведется к выражению (73.11) из специальной теории относительности:
0. (74.14)
ds2
Далее, дополнительное ограничение
ds=0, (74.15)
накладываемое в специальной теории относительности при рассмотрении
световых лучей, может быть, очевидно, приближенно принято как общее
условие и при наличии гравитационных полей, а потому уравнения для
геодезических линий (74.13) можно перенести и на случай движения частиц
или световых лучей в гравитационном поле. Это является значительным шагом
вперед в построении полной теории гравитации, который должен быть,
конечно, оправдан со временем данными астрономических наблюдений.
Фундаментальный тензор g^v встречается как в формуле для интервала
(74.10), так и в формуле для траектории (73.13). В формуле для интервала
он появляется в виде набора метрических величин, которые определяют
природу геометрии пространства- времени, связывая величины различных
интервалов с соответствующими разностями координат. В уравнениях движения
первые производные g^v по координатам появляются в символах Кристоффеля
первого рода в определенной аналогии с производными ньютоновского
гравитационного потенциала в прежних уравнениях движения. Отсюда следует
двойственный характер фундаментального тензора g^v, ибо десять входящих в
него независимых величин можно рассматривать либо как компоненты
метрического тензора, либо как гравитационные потенциалы в теории
тяготения Эйнштейна. Зависимость геомет-
§ 75. МЕТРИКА И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИИ
191
рии пространства - времени, а следовательно, и свойств самого
пространства от гравитации, возникающая из-за дуальности фундаментального
тензора,- замечательный вывод общей теории относительности.
Несколько абстрактный характер формулы интервала (74.10) не должен
затемнить ее прямую связь с наблюдаемыми свойствами материи. Любой
интервал, выраженный формулой (74.10), будет либо
пространственноподобным, либо времениподобным, либо сингулярным в
зависимости от того, отрицательна, положительна или равна нулю величина
ds2. Переходя к надлежащим образом выбранным собственным координатам
x,y,z, t, выражение для любого пространственноподобного интервала можно
привести к виду
-ds2 = dx2+dy2+dz2, (74.16)
а выражение для любого времениподобного интервала - к виду
ds2-c2dt2.
Это позволяет определить собственные длины прямо по метрическим отметкам,
а собственное время отсчитывать по часам. Точно так же уравнения движения
(74.13) имеют непосредственное отношение к экспериментальной ситуации,
поскольку временипо-добный интервал ds является собственным временем для
локального наблюдателя, движущегося с данной частицей, и скорость
изменения координат этой частицы с изменением ds может быть найдена путем
непосредственных измерений.
§ 75. Зависимость гравитационного поля и метрики от распределения материи
