Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
сказываться.
В общем случае неоднородных полей формулировку принципа эквивалентности
надо видоизменить, поскольку естественное гравитационное ускорение может
быть различным в различных частях поля. Тем не менее для достаточно малых
областей мы можем по-прежнему считать, что эффекты гравитации в них могут
быть сведены на нет в свободно падающей системе отсчета, которая
испытывает естественное ускорение, соответствующее силам тяготения,
действующим в этих областях. Это, например, иллюстрируется временным и
частичным исчезновением силы притяжения, которое происходит в лифте,
свободно падающем на поверхность Земли. Следовательно, принцип
эквивалентности мы можем в окончательном виде сформулировать так: всегда
в любой интересующей нас пространственно-временной точке возможен переход
к координатам, в которых эффекты гравитации исчезают в окрестности этой
точки. При этом окрестность должна быть малой настолько, чтобы
пространственными и временными изменениями гравитации можно было
пренебречь.
Итак, допускаемая принципом эквивалентности возможность существования
постоянных во времени гравитационных полей, которые не могут быть
полностью исключены никаким выбором системы координат, сразу приводит к
тесной связи между метрикой и гравитацией. В специальной теории
относительности, как мы видели, всегда могут быть выбраны координаты дг,
у, z, t такие, что для всего пространства-времени формула для интервала
записывается в простом виде:
ds2--dx2-dy2-dz2-\-c2dt2, (74.1)
где метрический тензор имеет постоянные значения:
&п = ?22=?зз= -1, ga=c\ g(iv=0 (p?=v). (74.2)
Однако, согласно изложенному выше, в случае постоянных гравитационных
полей уже нельзя найти координаты, для которых компоненты метрического
тензора определялись бы этими величинами, за исключением окрестностей
некоторых выделенных точек. Поэтому следует использовать более общую
формулу для интервала:
ds2=giivdx"dxv (74.3)
184
ГЛ. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
с произвольной зависимостью компонент метрического тензора от координат:
х2, А-3, а4). (74.4)
Обнаруженную таким образом тесную связь между метрикой и гравитацией
надо, конечно, исследовать более точно, что мы и сделаем ниже. Однако,
используя язык четырехмерной геометрии, мы уже сейчас можем сказать, что
в отсутствие гравитационных полей пространство - время является
"плоским", наличие же какого-либо постоянного гравитационного поля
эквивалентно введению метрики какого-нибудь определенного "кривого"
пространства.
б) Принцип эквивалентности и относительность движения. Теперь мы
рассмотрим связь принципа эквивалентности с фундаментальной идеей
относительности всех видов движения.
Первый шаг в реализации этой идеи заключался во введении принципа
ковариантности, согласно которому уравнения физики могут быть выражены в
форме, одинаковой для всех систем отсчета. Таким образом, исчезает
возможность использовать существенные различия в формах как критерий
абсолютных различии в движении. Тем не менее, как уже упоминалось, одного
этого недостаточно, чтобы последовательно провести идею относительности
всех видов движения, так как численные коэффициенты в разных системах
могут быть различными, и это обстоятельство можно было бы использовать
для получения критерия абсолютного движения. С этой точки зрения, однако,
введение принципа относительности можно рассматривать как второй шаг по
проведению идеи относительности всех видов движения. Действительно, с
помощью этого принципа мы можем, если это требуется, интерпретировать
различие в численных коэффициентах в разных системах координат как
результат изменения гравитационного поля, а не изменения абсолютного
движения систем отсчета.
Чтобы показать это на конкретном примере, разберем простой случай, когда
два наблюдателя находятся в свободном пространстве, причем один из них
находится в состоянии покоя или равномерного движения, а другой движется
ускоренно. Несмотря на то, что принцип ковариантности позволяет обоим
наблюдателям описывать, например, движение свободных частиц уравнениями
одного и того же вида, очевидно, что они должны получать существенно
различные конкретные результаты. В самом деле, с точки зрения первого
наблюдателя, свободные частицы, находящиеся в непосредственной близости
от него, покоятся, тогда как второй наблюдает движение этих пробных
частиц из-за собственного ускорения. Это различие может показаться
второму наблюдателю неким критерием абсолютного характера его уско-
§ 74. ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
135
рения, если он не учтет принцип эквивалентности, который дает ему
законное право, приписать ускорение свободных частиц присутствию
гравитационного поля.
Математически это выглядит так. Пусть покоящийся наблюдатель использует
систему координат, соответствующую обычным пространственным переменным и
времени я, у, z и /, и формулу для интервала
ds2 =-dx2-dy2-dz2-\-c2dt2. (74.5)
С другой стороны, пусть второй наблюдатель движется относительно первого
