Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
который не нарушает обязательных условий непрерывности и однозначности.
Используя эту связь между двумя системами координат, дифференциалы старых
переменных можно выразить через новые:
Возводя их в квадрат и подставляя в (73.1), получаем выражение
которое, как видно, сохраняет форму (73.2), что и требовалось доказать.
Далее, форма (73.6) говорит о том, что будет всегда симметричным по р и
v. Также непосредственно виден тензорный характер поскольку, в согласии с
постулированной инвариантностью интервала, мы можем написать для любой
пары
gll~g22 = g33 = 1, g44=C2,
(73.3)
g |XV = 0 (p=j?v).
Х"=х" (x, у, z, t)
(73.4)
(73.5)
ds2 =
+
+
(73.6)
§ 73. ПРИНЦИП КОВАРИАНТНОСТИ
179
систем координат х'" п х" эквивалентные выражения:
ds2 = g'uvdx'^dx^ = ga$dxadx^,
(73.7)
откуда сразу следует правило преобразования g^v'-
дха дх$
(73.8)
S"v дх" дхv
которое согласуется с общим уравнением (19.10), данным как определение
тензоров.
Итак, полученное для элемента интервала ковариантное тензорное выражение
(73.2) позволяет вводить в специальной теории относительности не только
наши обычные координаты х, у, z, t, но также использовать любой набор
координат х1, х2, х3, х4, который мы только пожелаем ввести. На данном
этапе мы оправдали применение этой ковариантной формулы лишь в отсутствие
гравитационного воздействия, когда справедливы на самом деле положения
специальной теории относительности. Тем не менее мы покажем далее с
помощью принципа эквивалентности (§74, д), что имеется вполне реальное
оправдание для использования той же самой формулы и в более общем случае,
когда существует гравитационное воздействие и когда не удается найти
систему координат, позволяющую выразить формулу интервала для всего
пространства - времени в целом в первоначальном простом виде (73.1).
д) Ковариантное выражение для траекторий свободных частиц и световых
лучей. В качестве второго примера проведения идеи ковариантности можно
рассмотреть ковариантную запись уравнений, описывающих движение свободных
частиц и световых лучей. Возможность получения таких ковариантных
выражений была уже показана в § 28 при обсуждении четырехмерной трактовки
механики частицы в рамках специальной теории относительности. Несколько
более полное рассмотрение с настоящей точки зрения будет, однако,
безусловно полезным.
Согласно специальной теории относительности поведение свободной частицы
подчиняется первому закону движения Ньютона, т. е. свободная частица
должна двигаться по прямой линии с постоянными компонентами скорости:
где х, у, z и t - обычные пространственные и временная переменные.
Комбинируя эти выражения с формулой для пространственно-временного
интервала (73.1), можно переписать их в 12*
(73.9)
180
ГЛ. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
четырехмерном виде:
dx их dy_ иу
* ггг=7т з1
dz uz dt_ 1
ds ~ усг _ ыа' ds - уса _ ыа'
Рассматривая этот результат, видим, что четырехмерная скорость свободной
частицы представляет собой вектор с постоянными компонентами и,
следовательно, четырехмерная траектория частицы должна быть прямой
линией.
После повторного дифференцирования этих выражений по элементу интервала
условия, накладываемые на четырехмерную траекторию, переписываются в виде
d%x _ d2y _ d2z __ d2t __ n ,
ds3 - ds2 ~ ds3 ~ ds3 ~~ U' ( 11 >
Кроме того, эти условия можно также выразить согласно из-
вестным свойствам прямой линии единственным уравнением:
6 fds = 0, (73.12)
которое утверждает, что интервал вдоль траектории экстремален
относительно малых вариаций, исчезающих на пределах интегрирования. Это
окончательное выражение представляет собой тензорное (скалярное)
уравнение, не связанное с какой-либо конкретной системой отсчета, и
приводит к одинаковым результатам во всех системах координат.
Таким образом, мы не встречаем никаких трудностей при нахождении
ковариантного выражения, описывающего движение свободной частицы в рамках
специальной теории относительности. Более того, скоро (§ 74,д) мы
убедимся с помощью принципа эквивалентности в том, что ковариантное
выражение для траектории (73.12), так же как и ковариантное выражение для
интервала, справедливо и при наличии гравитационных полей, когда
становится невозможным найти координаты, в которых формула для интервала
записывалась бы во всем пространстве в простом виде (73.1). В этом случае
уравнение (73.12) является общим условием для геодезических линий,
частным случаем которых является и прямая линия.
Для практического использования условия, налагаемого на геодезические
линии, обычно удобно заменить его эквивалентными уравнениями:
d3x° . .dx^dx'1 ,-п ю\
- + {^,0}^-^ =°, (73.13)
которые легко получить из формулы (73.12) обычным способом - подстановкой
в нее общей формулы для интервала (73.2). Сим-
§ 73. ПРИНЦИП КОВАРИАНТНОСТИ
181
зол, фигурирующий в (73.13) и состоящий из трех индексов, заключенных в
фигурные скобки, называется символами Кристоффеля *) первого рода и
определяется следующим образом:
