Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Толмен Р. -> "Относительность. Термодинамика и космология" -> 70

Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.

Толмен Р. Относительность. Термодинамика и космология — М.: Наука, 1974. — 520 c.
Скачать (прямая ссылка): otnositelnosttermodinamikaikosmologiya1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 205 >> Следующая

которые выглядят особенно просто в какой-то особой системе координат, а
те, которые просто выражаются в виде ковариантных уравнений, не зависящих
от выбора системы координат. Существует еще и совсем теоретическое
оправдание для таких рассуждений: даже без веры в необходимую простоту
природы ясно, что любой прогресс нашего понимания всегда происходит путем
последовательных приближений и начинается с использования наиболее
простых выражений, а для того, чтобы избежать случайных предположений,
надо формулировать теорию на ковариантном языке. Поэтому принцип
ковариантности имеет на самом деле большую эвристическую ценность. Это
иллюстрируется, например, тем фактом, что практически было бы совершенно
невозможно принять за основную гипотезу ньютоновский закон гравитации,
поскольку его выражение в ковариантной записи слишком сложно как для
истолкования, так н для применений.
в) Способ получения ковариантных выражений. Практическое применение
принципа ковариантности сильно упрощается, если для решения нашей задачи
о записи фундаментальных аксиом или законов физики в ковариантном виде
использовать аппарат тензорного исчисления, развитый Риччи и Леви-
Чивитой. Действительно, как мы уже убедились в § 19, тензорное выражение
физического закона сохраняет свой вид во всех пространственно-временных
системах координат. Поэтому изложение общей теории относительности
следует начать с выражения фундаментальных физических постулатов в виде
тензорных уравнений. Последнее намного облегчается тем обстоятельством,
что мы нашли уже тензорные формулировки многих законов специальной теории
относительности.
Хотя тензорный анализ играет громадную роль в развитии общей теории
относительности, было бы ошибочным предполагать, что мы должны
ограничиться лишь тензорными уравнениями при исследовании основных
знаконов физики (такого рода заблуждения приводили иногда в прошлом к
печальным
§ 73. ПРИНЦИП КОВАРИАНТНОСТИ
177
результатам). Тот факт, что все тензорные уравнения с необходимостью
ковариантны, не запрещает конечно, существования ковариантных уравнений,
не являющихся тензорными. Действительно, часто применяемые ковариантные
уравнения, связывающие тензорные плотности вместо тензоров, представляют
собой особенно простой и хорошо известный пример. Другой пример - это
вывод Эйнштейном уравнений релятивистской механики в ковариантной форме,
содержащих псевдотензорную плотность потенциальной энергии - импульса,
который оказался весьма существенным для понимания механики; мы не
колеблясь используем его в нашей книге.
г) Ковариантное выражение для интервала. При изложении специальной
теории относительности мы нашли, что законы физики удобно рассматривать с
помощью четырехмерной геометрии пространства - времени, характеризуемой
формулой для элементарного интервала
ds2=-dx2-dy2-dz2-\-c2dt2, (73.1)
где x, у, z и t - обычные пространственные и временная переменные. Ниже,
изучая общую теорию относительности, мы поймем, что представление о
четырехмерном пространственно-временном континууме в ней еще более
необходимо, и, в соответствии с принципом ковариантности, будем нуждаться
в ко-вариантном выражении интервала, определяющем геометрию. В качестве
предварительного шага попытаемся придать кова-риантный вид формуле для
интервала (73.1) из специальной теории относительности.
Выражение для интервала (73.1) не является полностью ко-вариантным, так
как оно сохраняет форму только на ограниченном классе преобразований, о
которых шла речь в § 17. Этот класс включает в себя лоренцевы
преобразования к новым наборам переменных х', у', z', t\ которые
соответствуют новым декартовым осям, движущимся с постоянной скоростью
относительно старых. Но при более общих преобразованиях, соответствующих,
например, переходам к ускоренным осям или даже просто к пространственным
полярным координатам, эта формула не сохраняет своего вида.
Легко, однако, переписать формулу для интервала ковариант-ным образом,
так как легко разглядеть в (73.1) записанный в "прямоугольных"
координатах частный случай общего тензорного соотношения:
ds2-giivdxildxv, (73.2)
которое справедливо в любых координатах; следует лишь подставить
надлежащие величины для компонент метрического тензора и просуммировать
по немым индексам: р, v=l, 2, 3, 4.
12 р, Толмен
178
ГЛ. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Чтобы разобраться в этом детально, во-первых, заметим, что наше
ковариантное выражение (73.2) действительно эквивалентно первоначальному
выражению для интервала (73.1), если компоненты метрического тензора
принимают особенно простые значения:
Во-вторых, покажем, что при любом произвольном переходе к новым
координатам вид формулы (73.2) остается неизменным.
Чтобы доказать последнее, рассмотрим произвольный переход к некоторому
набору обобщенных (криволинейных) координат хх, х2, х3, х4, связанных с
первоначальными (прямоугольными) координатами х, у, z, t каким-либо
способом:
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed