Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
В добавление к четырем уравнениям поля первоначальная теория Лоренца
включала в число основных постулатов пятое уравнение, определяющее силу,
которая действует на движущийся электрический заряд. Однако принятый нами
метод построения теории позволяет получить это важное уравнение с помощью
формул преобразования для сил, найденных в механике частицы, и,
следовательно, нет нужды вводить его в качестве самостоятельного
постулата [32].
*) В релятивистской электродинамике остается разделение на электро-
подобные и магнитоподобные поля. Разделение основано на знаке инварианта
?2-Я2. Если он положителен, то существует система отсчета, в которой поле
чисто электрическое; если он отрицателен, то существует система, в
которой поле чисто магнитное. Наконец, полю световой волны отвечает
нулевое значение этого инварианта. (Прим. ред.)
§ 42. ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 101
Рассмотрим заряд е, движущийся относительно системы S с некоторой
заданной скоростью V, и для простоты выберем оси системы S таким образом,
чтобы движение заряда происходило в направлении оси х, т. е.
ux=V, и"=0, иг = 0. (41.1)
Прежде чем вычислить силу, действующую на этот движущийся заряд в системе
S, найдем силу, действующую на него во второй системе координат S',
которая движется относительно системы S с той же самой скоростью V, что и
заряд е. Поскольку в системе S' заряд покоится, то сила, действующая на
него в этой системе, есть просто произведение заряда на электрическую
напряженность (в соответствии с определением напряженности как силы,
действующей на единичный покоящийся заряд), т. е.
F'x = e'E'x, F'y = е'Ёу, Fx = efEx. (41.2)
Используя формулы преобразования для силы (25.3), условие инвариантности
электрического заряда (40.5) и правила преобразования для компонент
напряженности электрического поля
(40.1), а также значения (41.1) величин их, иу и и" немедленно получаем
Fx = eEx, Fy^e(Ey-^^), Fx = + -^). (41.3)
Отбрасывая теперь специальное условие - движение в направлении оси х,-
можем написать в общем случае для силы, действующей на заряд е, который
движется со скоростью и, векторное выражение
F = e(E + -f[uXH]j (41.4)
или для силы, действующей на единичный заряд,
F = E + -i-[uXH]. (41.5)
Последнее выражение является пятым фундаментальным уравнением теории
электромагнетизма Максвелла - Лоренца.
§ 42. Энергия и импульс электромагнитного поля
Используя найденное уравнение и четыре полевые уравнения, можно с помощью
известных методов получить выражения для энергии и импульса
электромагнитного поля. Эти выражения настолько важны в теории
относительности, что мы приведем их вывод со всеми подробностями.
102
ГЛ. IV. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ И ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Согласно уравнениям (41.5) та часть силы, действующей на движущийся
заряд, которая создается магнитным полем, нормальна к направлению
движения. Следовательно, в этом случае сила не производит никакой работы
над зарядом, и полная скорость, с которой электромагнитное поле
производит работу над заряженным веществом, находящимся внутри данной
поверхности, определяется лишь напряженностью электрического
(ПОЛЯ
Здесь р - плотность электрического заряда, а интегрирование производится
по некоторому объему, фиксированному в пространстве. Преобразуем теперь
это выражение, заменяя ри его значением (39.4) и добавляя к
подынтегральному выражению величину, которая, как видно из уравнения
(39.3), равна нулю. Получаем
~ - - ^ ^{-f-^dv - c^ (Н • rot Е - Е • rot Н) dv. (42.2)
Далее, с помощью известного соотношения векторного анализа (уравнение 17,
Приложение II) это выражение можно переписать в виде
где в последнем члене интегрирование производится по поверхности,
ограничивающей данный объем, а индекс п означает, что берется внешняя
нормальная компонента от соответствующего вектора.
Последнее уравнение имеет простую интерпретацию, если вспомнить о законе
сохранения энергии, как об одном из наших основных постулатов.
Действительно, мы можем считать, что скорость, с которой производится
работа над веществом внутри ограничивающей его поверхности, равна
скорости, с которой энергия электромагнитного поля поступает внутрь через
эту поверхность; тогда первый член, стоящий в правой части уравнения
(42.3), можно интерпретировать как скорость изменения энергии
электромагнитного поля внутри рассматриваемого объема, а второй член -
как поток электромагнитной энергии, пересекающий границу этого объема в
единицу времени. Плотность электромагнитной энергии при этом выражается
хорошо известной формулой
(42.1)
N
dW
dt
dv - с ^ (ExHj,; do, (42.3)
§ 43. ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ НАТЯЖЕНИЙ
103
а плотность потока энергии, или вектор Пойнтинга, имеет вид
s = c[EXH]. (42.5)
Использовав соотношение между массой, энергией и импульсом, введенное в §
27, найдем плотность соответствующей электромагнитной массы
1 Е2 X Н2
и плотность импульса
g = 4-[EXH],
§ 43. Тензор электромагнитных натяжений
С помощью основных уравнений мы можем также получить известное
