Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
(52Е d2E 32Р 1 d2F
ж + ду2 + аД ~~WШ* = 0> (39-6)
и
дщ , э2н а2н 1 а2н
dx2 + ду2 dz2 ~&~т2~ U'
Это - известные волновые уравнения, описывающие распространение
электромагнитных возмущений в свободном про-
странстве со скоростью с.
7 I1- Толмен
98
ГЛ. IV. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ И ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Наконец, если ввести скалярный потенциал <р и векторный потенциал А с
помощью уравнений
то можно показать, что эти новые величины могут быть выбраны так, что
будут удовлетворять дифференциальным уравнениям:
Интегрирование здесь производится но всему пространству; г - расстояние
от рассматриваемой точки до элемента объема dv\ квадратные скобки
означают, что стоящие в них величины взяты в момент времени, опережающий
интересующий нас момент на величину rjc. Выражения (39.12) и (39.13)
вместе с соотношениями (39.8) и (39.9) полностью определяют поля через
распределения зарядов и токов.
Основы электродинамики, постулированные в виде полевых уравнений (39.1) -
(39.4), справедливых в некоторой специальной системе координат, надо
теперь обобщить в соответствии с основными представлениями специальной
теории относительности. Начнем с того, что потребуем согласно двум
постулатам относительности, чтобы уравнения в одной и той же форме
описывали электромагнитные явления во всех инерциальных системах
координат; затем, чтобы правила преобразования кинематических величин,
стоящих в этих постулированных уравнениях, совпадали с преобразованиями
Лоренца; и, наконец, чтобы правила преобразования вновь введенных величин
Е, Н и р при
(39.8)
и
H = rot А,
(39.9)
д2Ф , Э2ф , <32ф 1 Э2а>
дх2 ду2 дг2 ".- ui-
(39.10)
и
<Э2А d2A d2A 1 <Э2А
дх2 ' ду'2 ' дг2 с2 dt2
(39.11)
Решения этих уравнений известны:
(39.12)
и
(39.13)
§ 40. Правила преобразования Е, Н и р
§ 40" ПРАВИЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Е, F к р
переходе от одной системы координат к другой, движущейся относительно
первой, совпадали с правилами обратных преобразований с точностью до
изменения знака относительной скорости этих систем координат.
Рассматривая переход от одной системы координат 5 к другой S', движущейся
относительно первой со скоростью V, направленной для простоты по оси х,
легко убедиться, что все перечисленные условия могут быть выполнены, если
считать справедливыми преобразования Лоренца для координат х, у, z и t
(8.1) и для компонент их, иу и uz скорости и в виде (ЮЛ), а в качестве
правил преобразований электромагнитных величин- уравнения, предложенные
Эйнштейном*):
' ,Еу + -ТИ> ,
Ех - Ех , Еу , Ег = - - , (40.1)
//у - -- Ez
НХ = НХ, Ну Я, = - = , (40.2)
X ! - ГЧс2
- , 2
!С j
г 1 - V-lc
140.3"
Используя эти правила преобразований совместно с прежними правилами
преобразований координат и скоростей, можно найти после довольно длинных
вычислений, что полевые уравнения (39.1) - (39.4) действительно не
изменяют формы, если в них подставить штрихованные величины вместо
нештрихованных. Разрешая далее только что введенные уравнения
относительно штрихованных величин, находим, что уравнения для
*) Формулы преобразования Лоренца для электромагнитного поля можно
привести к очень простому виду, если ввести комплексный вектор
I -Б ; .Н. F* = E /Н Введя еще "комплексные" компоненты
F+ = Fx + iFy=F'_, F_^F;-iFu=-.F , !,, /у .
нетрудно показать, что преобразование Лоренца вдоль оси г ("поворот" в
плоскости zt) описывается так:
F'=Fea, F*'F*e-
где параметр а, называемый быстротой, связан с скоростью Р - о/с формулой
P = tha.
Пр и пространственных поворотах F и F* преобразуются, как обычные
векторы. При отражении F и F* переходят друг в друга. (Прим. ред.)
7 *
100
ГЛ. IV. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ И ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
обратных преобразований имеют тот же самый вид с точностью до знака при
скорости V. Следовательно, эти уравнения удовлетворяют требованиям теории
относительности.
Совместное появление компонент Е' и Н' в (40.1) и (40.2), как для Е, так
и для Н, указывает на то, что разделение электромагнитного поля на
электрическую и магнитную части зависит от характера движения
используемой системы отсчета. Поля, считающиеся чисто электростатическими
в системе S', могут иметь магнитные компоненты в системе 5*).
Надо отметить также, что правило преобразования плотности заряда (40.3)
оставляет инвариантным полный электрический заряд, так как, используя
соотношение (11.1), можно переписать уравнение (40.3) в виде
р /1 - и'2/са
Т Vi-w*' WA)
откуда следует, что результаты измерений плотности заряда в двух системах
обратно пропорциональны лоренцевым факторам, и, таким образом, величины
полного заряда в них совпадают, т. е.
е=е'. (40.5)
Это согласуется с тем, что электрический заряд принимает лишь дискретные
значения, которые можно измерить простым счетом числа электронов и
протонов, поэтому он является инвариантом относительно различных
наблюдателей. Можно сказать, что из этой инвариантности следует закон
преобразования (40.3).
§ 41. Сила, действующая на движущийся заряд
