Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
г v т/; г I У2
Fi-j" VLi = Fxk-^r раз.
Итак, величина крутящего момента, действующего на рассматриваемый
угольник, оказалась той же, что мы получили раньше, т. е. мы нашли полное
решение поставленной задачи, в которой не осталось ничего
парадоксального.
г) Случай замкнутой статической системы. Трудности, которые могут
возникать при изучении равномерного поступательного движения напряженного
тела, продемонстрированные на примере угольника, на который действует
крутящий момент, но который при этом не вращается, исчезают, если
разобрать случай замкнутой статической системы. В приведенном выше
примере это соответствовало бы рассмотрению напряженного угольника вместе
с опорой, на которой закреплена ось и на которой закреплены пружины,
являющиеся как бы носителями сил /д и F2, действующих на концах
угольника.
Вообще говоря, мы будем понимать под замкнутой статической системой
жесткую конструкцию, которая остается в состоянии покоя относительно
системы собственных координат 5°, так что не требуется внешних сил, чтобы
удержать ее в этом состоянии.
Тогда, поскольку такие системы в отсутствие внешних сил будут находиться
в состоянии равномерного поступательного движения относительно любого
набора лоренцевых координат S, очевидно, что нет нужды в крутящем моменте
для поддержания этого равномерного движения, и согласно условию
(38.16) момент количества движения системы в целом не будет изменяться
со временем.
§ 38. ПРИМЕНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
93
Более того, с помощью некоторых подсчетов можно доказать, что выражения
массы и импульса для такой замкнутой системы имеют очень простую форму.
Покажем это.
Прежде всего введем систему собственных координат S0, уравнения движения
(36.6) в которой выглядят следующим образом:
Эр?. Эр?
^ + 4 = 0. (38.18)
Так как скорость всех частей системы равна нулю в этих координатах,
плотность импульса g? будет повсюду равняться нулю в соответствии с
правилами (36.5), так что можно переписать последнее уравнение в виде
дР°а dP°ix - дР% дР°г
+ + = °- (3819>
Проинтегрируем теперь это выражение по объему, прилегающему одной
стороной к плоскости, перпендикулярной оси х и разрезающей систему в
некоторой произвольной точке, скажем х', а с другой стороны охваченному
некой поверхностью, лежащей целиком вне системы. Тогда имеем
Ф?, , Ф°, , Ф°
дх 1 dy+~d7-)dxdydZ=:
p°ix I* dy dz -г j j 1 P% 11 dx dz + j j | p°u Ц dx dy = 0, (38.20)
где пределы соответствующих однократных интегрирований обозначены буквами
х, х' и т. д. Поскольку, однако, все эти пределы, кроме х', расположены
вне системы, все "натяжения" р°а на этих пределах обращаются в нуль,
кроме р% на поверхности х=х', а следовательно, соотношение (38.20)
превращается в условие
pudydz = 0, (38.21)
И
где интеграл берется по плоскости, перпендикулярной к оси х и разрезающей
систему в некоторой произвольной точке. Умножая это выражение на dx и
интегрируя по всей системе, получаем следующее полезное соотношение:
Я.
pt-c dx dy dz = о,
или, поскольку плоскость, разрезающая систему, может быть
94 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И МЕХАНИКА
взята перпендикулярной к любой из трех осей, запишем его в общем виде:
fJJ p0iidxdydz = 0. (38.22)
Последний результат позволяет найти простое выражение для массы и
импульса всей системы в любой системе координат S. Для простоты примем,
что наша система движется относительно S в направлении л: со скоростью и.
Тогда можно вычислить полную массу системы, интегрируя по всему объему
выражение для плотности массы (36.4), а именно:
т = ( Р do = \ ¦Ро°1У;^- Vl-tVc* dv\ (38.23)
iJ
Здесь элемент объема dv заменен элементом собственного объема с учетом
лоренцева сокращения. Используя условие (38.22), находим следующую
простую формулу:
т = Г -,^1^ dv° = - , (38.24)
J VI - ы2/с2 V1 - и2/с2 '
где т0 - масса покоя системы. Выполняя теперь аналогичное интегрирование
и используя выражения для плотности импульса (36.5), немедленно получаем,
что компоненты полного импульса системы имеют вид
Gx=-^-Ux, G,j = Сг = 0. (38.25)
У 1 - ы2/с2
Итак, мы видим, что масса и импульс замкнутой статической системы
определяются с помощью тех же самых простых соотношений, которые были
найдены для частиц. Таким образом, не возникает никаких усложнений из-за
того, что импульс и скорость в релятивистской механике не параллельны
друг другу. Если система подвергается воздействию внешних сил, которые не
создают крутящих моментов, но приводят к тому, что может быть названо
квазистационарным адиабатическим ускорением, не изменяющим внутренние
условия в данной точке системы с точки зрения локального наблюдателя,
передвигающегося с системой, то можно установить, что и к этим явлениям
применим развитый нами аппарат динамики частицы.
В то же время, последний результат позволяет считать механику частицы, на
которую действуют внешние силы, частным случаем механики сплошных сред,
если рассматривать частицу как замкнутую стационарную систему, слишком
