Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
обозначенная символами х, х' и т. д. Далее, свойство симметрии тензора
рц, заложенное в его определении
(36.1), позволяет написать
tyx txy^=Pyx Syttx Рху~\~§xtty== {ttxSy LtySx) - (38. 14)
Подставляя теперь соотношения (38.13) и (38.14) в уравнение
(38.12), получаем искомое выражение:
90 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И МЕХАНИКА
Из этого выражения следует, что скорость изменения момента количества
движения системы равна вращающему моменту внешних сил, действующих на нее
извне. В случае изолированной системы, когда эти силы отсутствуют,
выражение (38.15), очевидно, приводит к закону сохранения момента
количества движения:
dM,
ТГ = °* (38Л6)
Чтобы окончательно завершить наше рассмотрение момента количества
движения, подчеркнем еще одно существенное различие между релятивистской
и ньютоновской механиками. Применим первоначальное выражение (38.11) к
случаю, когда система находится в состоянии равномерного движения по
прямой линии, так что импульс g dv каждого элемента объема системы есть
постоянная, не зависящая от времени. Для такой системы можно было бы
ожидать, что момент количества движения также не будет зависеть от
времени. Тем не менее, дифференцируя
(38.11) по времени в том предположении, что величина g dv для каждого
элемента постоянна, получаем для скорости изменения момента количества
движения во времени выражение
- UySx) dv. (38.17)
В ньютоновской механике, поскольку скорость и и плотность импульса g
направлены одинаково, это выражение должно равняться нулю. Действительно,
мы должны в этом случае подставить в (38.17) gy=puv и gx=pux, что
обращает скобку в последнем выражении в нуль. Напротив, в релятивистской
механике сразу видим из уравнений (35.1) и (35.2), что среда, в которой
действуют натяжения, может иметь импульс, направленный под прямым углом к
направлению движения. В самом деле, в релятивистской механике связь
натяжения с подынтегральным выражением в (38.17) задается уравнением
(38.14), полученным выше:
Uxgy Uygx txy iys:•
Следовательно, в релятивистской механике ввиду того, что тензор натяжений
несимметричен, момент количества движения тела, испытывающего натяжение,
может, вообще говоря, изменяться во времени, даже в том случае, когда
тело находится в состоянии равномерного движения по прямой линии. Внешний
крутящий момент при этом необходим для того, чтобы скомпенсировать это
изменение и поддерживать тело в состоянии равномерного движения.
§ 38. ПРИМЕНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
91
в¦
U
F,
Рис. 3.
\0
с
гг
f
в) Угольник (пример). Рассмотрим кажущийся парадоксальным случай -
движение напряженного угольника как любопытный пример того, что крутящий
момент может быть необходим для поддержания испытывающего натяжения тела
в состоянии равномерного поступательного движения [31].
Рассмотрим угольник, изображенный на рис. 3, надетый на ось в угле В, на
который действуют силы F\ и F2 на двух его концах А и С. Будем считать,
что угольник находится в равновесии в системе собственных координат S0 и
что оба его плеча равны в этой системе координат:
7° - 7° ч - h,
и силы, на них действующие, также равны между собой:
F° = F\.
Найдем теперь, как все это описывается в новой системе координат 5,
относительно которой угольник движется в направлении х со скоростью V. В
этой новой системе координат длина плеча /], параллельного оси у, будет,
очевидно, той же самой, что и в системе 5°:
h
7°
Ч"
но другое плечо, параллельное направлению движения, будет меньше из-за
лореицева сокращения:
/2 = НУ 1 - VVc2.
Далее, согласно правилам преобразования сил (25.3), силы, действующие на
плечи угольника, в новой системе равны
/4 = ^1, Ft = F\V\-VVc\
С помощью полученных формул для сил и для плеч угольника вычислим теперь
вращающий момент относительно точки В:
FA - 'Уз =
-О,О
И (1-УУ2) = F\l'iv = FJjVVc2.
Очевидно, что угольник не поворачивается вокруг оси В, независимо от
того, рассматривается ли он в системе S0 или в
92 гл. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И МЕХАНИКА
системе 5. Следовательно, мы получили простой пример напряженного тела,
находящегося в состоянии равномерного поступательного движения, которое
должно тем не менее подвергаться действию крутящего момента для
сохранения этого состояния движения.
Этот результат находится в полном согласии с выводами, сделанными в
предыдущем разделе параграфа, поскольку, как легко показать, момент
количества движения системы действительно растет из-за притока в нее
энергии, в точности согласующегося с величиной крутящего момента. Так как
сила /д производит за секунду в точке А работу, равную /дУ, поток энергии
именно такой величины непрерывно входит в систему в точке А и вытекает из
системы через точку крепления В, где действует сила, равная /д, но
противоположно направленная. Тогда из принятого нами соотношения между
массой и энергией следует, что масса, равная /дУ/c2, ежесекундно входящая
в систему в точке А, увеличивает момент количества движения системы в
