Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
где
х ^ = х |х(х1, X2, X3, X4).
Правило суммирования по немым индексам: а=4
АаВа = 2 Л"Ва = Л1В1 + Л2Д2 + Ami + Л<Вс
а=1 (3)
Л"РваЗ = °2 S' Л"РваР = АПВп + А1гВ1г + • • - 4- А**Ви
а=1 6=1
НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
507
и т. д. Один из двух немых индексов всегда ковариантен, а другой всегда
контр-авариантен.
Определение тензора.
Множество 4Г компонент (ранг г равен полному числу индексов а, [3, ...
. -. , (.1, v, ... и т. д.), которые определены в данной точке
многообразия и при преобразовании координат преобразуются следующим
образом:
Лу й Лу У Лу7 Лу^
-т-'nv... _ _ ох ох т-ар...
дя* дх* дх'9 дх'а"
Примеры
Тензор нулевого ранга (скалярный инвариант):
S'=S. (5)
Контравариантный тензор первого ранга (вектор):
дх" дха
(6)
Ковариантный тензор первого ранга:
>' дх<Х "
(7>
Смешанный тензор второго ранга:
,v dx'v дх&
= (в)
Симметричный тензор:
= Tvp. (9)
Антисимметричный тензор:
F"v = - Fv". (10)
б) Фундаментальный метрический тензор и его свойства.
Метрический тензор:
Spiv (И)
Бесконечно малое приращение координат:
dx" = dx4, dx2, dx3, dx4. (12)
Скалярный интервал ds, соответствующий dx":
d^ - Snvdx"dxv. (13)
Детерминант, образованный из компонент g^:
g I 8pv |. (14)
Нормированный минор:
gUV _ Г^Н-v Iminor ^ ^
508
ПРИЛОЖЕНИЯ
Смешанный тензор:
7V=,6V = (1' *=V'
^ 41 |0, p^v.
Галилеев тензор
^(iv = + 1,0.
Символы Кристоффеля:
1 /^>ц(т . ^>v(j д8""
[jAV,a]= gxv т gxp, - gxa
(pv,a) - r^v 2 s \vdA:v+djt,i dxx Тензор Римана - Кристоффеля:
пТ __ рСЬ рТ__ T-iCt рТ | ^ рТ ^ рТ
nHva"AnaAav А nvAaa 1 цс qx<j мл>*
Уравнение геодезической:
к Г , n d2x° , ra dx11 dxv n
6jds = ° или __+rtlv__=0.
в) Тензорная алгебра.
Поднимание, опускание и переименование индексов (примеры)
^=gv<Ma,
= ?дсИ"
А', = е1АЛ.
Свертка (примеры):
т = Т% = gVOrTvrx = т\^т1 + т\ + rj,
р рСС р O' pOi р(Т | д р (7 ^ p(J
Ajxv A|io av A m>v aa "г 1 цa 1 jiv •
Сложение (примеры):
\ = B"+Cll=(Bl+Cl), (32+C2), (S3+C3), (B4+C*) Прямое произведение
(примеры):
/ВХС ' SiC2 З^3 BXC4 I B2C1 B2C2 В2С3 В2С4 =SHCV = 1 S3C1 S3C2 В3С3 S3C4
ySjC1 BiC2 В4С3 BiC1
Скалярное произведение (пример):
Л = = BVCV = В^4 + ВаС2 + ВзС3 + В4С4.
НЕСКОЛЬКО ФОРМУЛ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
509
Ковариантное дифференцирование (примеры): д_АО1 дх
з
"Jiyv 'l\iv ^ v v^a
UM)V = = - -I- Г?у.4" , (29)
d T^v
М0 = ПГ = ~^T + r?ar"v + Г^Т*", (31)
dTv
ГtV\ 'rV ' j.i > rv ра -pa r/"v>4
l nja" 1 до " ^5~ м Д MOia> A '
dT--v--- (+ raor".u".'. для каждого контравариантного индекса
а о ..ji...
-"a p..v... да' ..a...
<9jc° -Г" для каждого ковариантного индекса.
Дивергенция: г) Разные формулы.
?nv)a = 0.
Га = 1 (.IV га . \'Д
д
Гаа = дха
!<i?"|3 = -т<
V •
(33)
(34)
(35)
(36)
(37)
Ta0
(38)
Ц- = №е*ъ = -еа№*' О9)
д(Ри dcPV
('Pn)v ~ (cPv)n - dxv -дл.ц, ¦ (4°)
dFuv dFva dFcu,
(F\iv)a + (fvo)|i + (Fa.n)v = ^x<j + ~dx^~ dxv
при условии, что F^v = - FV)i. (41)
cP|rva ^i-iav ~ Фе^иуо'
если
^nva ((^.u) v)a и 4V<jv = ((4V)a)v • (^2)
Г..ц...)га-(Г.)х...)ау = 2Г..?...^У0, (43)
где суммирование 2 производится по всем возможным значениям индекса ц.
510
ПРИЛОЖЕНИЯ
д) Тензорные плотности.
S..M
тУ-g•
д дх
(Tv) l/'Z^ = ?rv = _ J_ g-aP^af
d;ca
1 ".<хр^ар_^д
dxv dxv
+ -7Г Tap
ал4'
(44)
(45)
(46)
(47)
(48)
при условии, ЧТО 7'1'V_7'vh_
(fiV)v/::i =
при условии, что = - /7V)i.
е) Четырехмерный объем. Собственный пространственный объем.
Когда пределы интегрирования определяются заданной четырехмерной
областью, имеем инвариант
/ = j jjj Y^g7 йх'Чх'Чх'Чх'* = jjjj Y^g йхЧхЧхЧх*. (49)
Когда область достаточно мала, так что можно пользоваться обычными
координатами х, у, z, t или собственными координатами х0, у0, z0, t0,
тогда
61
=I s I sdx dy dz dt=i s 11 dx° dy° dz° dt° ~ a $ $ $ ^~s dxi dx2
dx3 dx?.
(50)
Поэтому можно считать, что
6/ = 6v61 = 6v06t0 = 6v06s = V^g6x'6x4x38x\ (51)
где So и 8vo - элементы пространственного объема, a 8t и 8t0 = 8s -
элементы обычного и собственного времени соответственно.
ПРИЛОЖЕНИЕ IV ВАЖНЕЙШИЕ КОНСТАНТЫ*)
Константа Данные автора Данные 1974 г.
Постоянная Стефана - Больцмана а, эрг-см~3-град~* 7,6237-10-18
7,565-10-15
Число Авогадро А, моль~1 6,06436-1023 6,0220943(61) ¦ 1023
Скорость света с, см-сек*1 2,99796-1010 2,99792458(1, 2) • 10!°
Заряд электрона е, ед-СГСЭ 4,770-10-10 4,803242(14)-10-10
*) Мы приводим здесь константы автора и для сравнения последние константы
по данным 1974. (Прим. ред.)
ВАЖНЕЙШИЕ константы
511
Константа Данные автора Данные 1974 г.
Постоянная Планка h, эрг-сек Постоянная Больцмана А, 6,547-10-27
6,582173(17)-10-27
эрг-град-1 Гравитационная постоянная 1,3708э-10-16 1,380662(44) -10-
16
Ньютона G, A, v, дин ¦ см2/г~2 Удельный заряд электрона, е/т.,
6,664-10"8 6,6732(31)-10-8
ед. СГСЭ-г-1 Газовая постоянная R, 5,27941 • Ю17 5,27275(13) -1017
эрг¦ град*' ¦ моль~[ 8,31360 - Ю7 8,31441 (20) • 107
Переход от релятивистских единиц к единицам СГС:
I, t, т в релятивистских единицах.
L, Г, М в единицах СГС.
