Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
Этот результат важен с термодинамической точки зрения, ибо показывает,
что между элементами жидкости в рассматриваемой модели не происходит
теплообмена. Однако и этот результат тоже можно считать следствием
пространственной однородности модели.
§ 167. Следствие второго закона релятивистской термодинамики
Согласно § 119 закон релятивистской термодинамики, аналогичный обычному
второму закону, можно сформулировать в виде
?-Дф°^ V=g)8xW8x4x*^, (167.1)
где фо - собственная плотность энтропии жидкости в заданный момент
времени и в заданном месте, dx^/ds - компоненты макро-28*
436
Гл. X. космология
скопической "скорости" этой жидкости, определенные в выбранной системе
координат, Т0 - собственная температура, a 6Qo - количество тепла,
протекшего внутрь элемента жидкости
6х16х26х3 за время 6х4, причем все величины отнесены к локальному
наблюдателю. Знак равенства в этом выражении выполняется в обратимых
процессах, а знак неравенства - в необратимых.
Пользуясь тем, что в моделях с интервалом в виде (166.1) в сопутствующей
системе отсчета можно положить
dr = M = dф = 0 ^ 1 (167.2)
ds ds ds ds
и что процессы в рассматриваемых моделях, как было показано в предыдущем
параграфе, протекают адиабатически, т. е.
6Q0=0, (167.3)
можно переформулировать релятивистский второй закон следующим образом:
га sin е е ig(0
[l+r^g]3
бгбббф >0, (167.4)
или
Yt( ФоН)>0, (167.5)
если учесть выражение (166.6) для собственного объема. Полученный
результат показывает, что собственная энтропия каждого элемента жидкости
может только возрастать или, в лучшем случае, оставаться постоянной во
времени.
Соотношения (166.7) и (167.5) можно считать вполне удовлетворительными,
ибо они гласят, что локальный наблюдатель, исследуя элемент жидкости в
непосредственной близости от себя, обнаружит в нем те же самые
закономерности, какие предсказываются классической термодинамикой для
адиабатического расширения и сжатия.
§ 168. Условия термодинамического равновесия в статической Вселенной
Эйнштейна
Термодинамические закономерности, установленные выше для нестатнческих
моделей, можно использовать для исследования условий равновесия
эйнштейновской Вселенной, ибо последняя является частным случаем, когда
g(t) не зависит от времени.
§ 168. РАВНОВЕСИЕ ВСЕЛЕННОЙ ЭЙНШТЕЙНА
437
Условия термодинамического равновесия можно определить обычным образом,
исследуя возможные изменения в малой области модели при изменении радиуса
R = R0e'tS (168.1)
и числа молей
л?, л?, ...,л° (168.2)
различных химических веществ, составляющих данный элемент жидкости, а
значит, и всю жидкость.
Варьируя эти параметры, можно временно считать, что модель является
нестатической, т. е. что энергия и энтропия каждого элемента жидкости
изменяются согласно (166.6) и (167.5). Поскольку, однако, энтропия
каждого элемента, согласно (167.5), может только либо возрастать, либо
оставаться постоянной во времени, то при наличии термодинамического
равновесия должно выполняться условие
6(фо^о)=0 (168.3)
при дополнительном условии
6 (роо^о) -bPoSt>o=0, (168.4)
где собственный объем рассматриваемого элемента жидкости Vo равен
" " 69 6ф. (168.5)
[1 +^/4К§]
Чтобы воспользоваться вышеприведенными условиями равновесия, запишем по
аналогии с классической термодинамикой:
6 (ФоЧ,) - 6S0 = 1 6Е0 + 6л? + . . .
8п°¦ (Ш6>
\dnn/E',v0
Записать это соотношение, очевидно, можно потому, что измеряемая
локальным наблюдателем собственная энтропия 50=фо1>о, как нетрудно
видеть, зависит от собственной энергии объема и химического состава, так
же как и в классике.
Учитывая, кроме того, что собственная энергия ?'о=роо^о, и принимая во
внимание (168.4) и (168.6), получаем в качестве
438
Гл. X. КОСМОЛОГИЯ
необходимого условия термодинамического равновесия статической Вселенной
Эйнштейна следующее равенство:
Сравнивая это соотношение с (60.12), мы видим, что оно тождественно
классическому условию химического равновесия между различными
компонентами жидкости. Это означает, что относительное содержание
различных материалов, которые могут переходить друг в друга, например
водорода и гелия или даже вещества и излучения, в статической Вселенной
Эйнштейна будет при термодинамическом равновесии точно такое же, как и в
плоском пространстве -времени. Это очень важно, ибо любое влияние
гравитационной кривизны на относительный состав в таких моделях имело бы
большое значение для космологии*).
Хотя пару соотношений (168.3) и (168.4) или эквивалентную им пару
(168.4), (168.7) можно рассматривать как необходимые условия
термодинамического равновесия, однако вопрос о том, являются ли эти
условия достаточными для того, чтобы равновесие было устойчивым, требует
дополнительных исследований. Результаты § 159 показывают, что равновесие
эйнштейновской Вселенной, вообще говоря, неустойчиво по отношению к малым
изменениям радиуса; исключение могло бы возникнуть, только если бы
заключенная в ней жидкость обладала свойством увеличивать давление при
