Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
формулой (1), исчезают все компоненты Г"Р, кроме одной:
Т\ = р, Tl = 0 (аилир^4). (3)
С другой стороны, компоненты тензора энергии - импульса, соответствующие
интервалу (1), могут быть получены из выражений, данных дляэтой общей
формы Динглем [71]; комбинируя полученные результаты с условиями (3),
легко получить систему уравнений, связывающих метрические переменные X и
со с плотностью р:
8пГ1 = е-и-е-^ + м + -|(в2-А = 0, (4)
О 'Г2 ЯттТ3 -X /М" _1 I ^ ^ _L
8пТ2 = 8лГз = - е М + --------- _|_ +_ +
2 ' 4 4 j 1 4 1 4
+ Т + ? + -?Г-Л = 0' (5)
8n7l = - е-^со" + 4 а'* - ^ - А = 8лр, (6)
8ле*Т\ = - 8л71 = + й7 = 0, (7)
где штрихи означают дифференцирование по г, точки - дифференцирование по
t, а Л - космологическая постоянная.
3. Решение уравнений. Для того чтобы проанализировать эти уравнения,
удобно прежде всего исключить X. Очевидно, что первый интеграл
уравнения (7) можно записать в виде
е f*(r) ' W
где f2(r) -^произвольная функция г, принимающая, однако, толь-
ко положительные значения.
Подставляя (8) в (1), можно переписать теперь интервал в форме (3):
ds2 = -еdf2 - еа (dQ2 + sin2 0 dcp2) + dt2. (9)
Подставляя (8) в (4), получаем 4
е"(а + 4(r)*-Л) +{1 ~/а(т = 0. (10)
428
Гл. X. космология
Очевидно, что в качестве первого интеграла этого уравнения можно написать
выражение
е3со/2 (y " Т Л) + 2е"'2' 1 " /2 (r) 'i ^ F (г)' (11)
где F(r) -еще одна произвольная функция г. Интеграл же этого уравнения
имеет вид
W ,"/2
= i -I- F (г), (12)
W.
Р (г)-1 + yf W<'e/! + j"*
где F (г) - третья произвольная функция.
Подставляя (8) в (5), нетрудно убедиться, что полученный результат
эквивалентен (10), так что в дальнейшем рассмотрев нии уравнения (5) нет
необходимости.
И наконец, подставляя (8) в (6), получаем следующее выражение для
плотности пылевидного вещества:
8яр = е~а 11 /2 (г) - J д.. 2 й* + - Л. (13)
Этот результат может быть записан в различных формах. Исключая /2(г) с
помощью (10), получаем
8лр = - Зсо - 2 со2- 2-У- + 2Л, (14)
(15)
(16) (17)
- Зсо - 2~- СО 3 2 со2 - 2- со со' , 1Г ¦+
1), перепись!! заем (13) в виде
8яр = - -Зсо/2 со' dF (г) дг '
'я затем (15) , находим
д In р 3 . со'
dt - 2 со - со' '
д2 In р 3 со' . /
dt2 ~ 2 (0 - ш' + й')
или, используя (14), получаем
д21пр , * , 1 /с5 In р\2 2 /соЛ /.оч
- = 4яр -Л-1-- +TU) • (18)
§ 160 *. ЭФФЕКТ НЕОДНОРОДНОСТИ
429
4. Применен и я. У нас теперь есть все, чтобы исследовать поведение
космологических моделей. С математической точки зрения из уравнений (10)
- (12) следует, что можно выбрать три произвольные функции f2(r), F (г) и
F(r) так, чтобы они соответствовали любым заданным начальным значениям,
со, со и со как функциям г при /=0, а затем, по крайней мере в принципе,
определить с помощью уравнения (12) изменение со в зависимости от г и г1.
С физической точки зрения это означает, что можно в рамках нашей модели
выбрать в момент времени t=0 величину е"ю/2/4/2 (г) так, чтобы вид
интервала (9) соответствовал любому заданному начальному соотношению
между радиальной координатой г и реально измеряемым расстоянием от начала
координат; кроме того, можно выбрать со так, чтобы выбор сопутствующих
координат находился в соответствии с любым заданным начальным
распределением (по г) измеряемой радиальной скорости вещества в модели,
и, наконец, можно выбрать
и так, чтобы уравнение (14) находилось в соответствии с любым заданным
начальным распределением плотности пылевидной материи как функции от г.
Уравнения определят тогда дальнейшее поведение материи в модели.
Посмотрим, что можно получить, действуя таким образом, в некоторых
конкретных случаях.
а) Статическая модель Эйнштейна. Пусть при t-0 распределения заданы
следующим образом:
еы = г\ со = 0, со = 0. (19)
В соответствии с выражениями (9)-(12) это дает интервал ста-
тической космологической модели Эйнштейна
ds3 = -- - r4Q2 - г* sin3 0 dcp2 + dt3, (20)
а согласно (14) получаем старое значение для однородной плотности в
модели Эйнштейна
4яр=Л. (21)
которая остается статической в соответствии с (16) и (17).
б) Искаженная модель Эйнштейна. Пусть при t-0 распределения выглядят так:
еа = г2, со = 0, со = со0 (г), (22)
гДе со есть начальная функция, зависящая от г. Тогда
430
Гл. X. космология
в соответствии с (14), (16) и (18) при ^=0 имеем 4яр = Л - у со0 - y оУ
г,
(23)
(24)
(25)
Следовательно, в такой искаженной модели Эйнштейна уже не существует
однородной плотности вещества, задаваемой (21), и, хотя плотность материи
первоначально не зависит от времени, она будет возрастать в тех областях
значений г, где она больше обычного эйнштейновского значения Л-4лр, и
будет уменьшаться в тех областях, где она меньше этого значения. Это
указывает на еще один вид неустойчивости в модели Эйнштейна (в дополнение
к той, что уже обсуждалась Эддингтоном и другими авторами *)), так как
уже начальное поведение характеризуется увеличением отличия от
однородного распределения Эйнштейна. Кроме того, очевидно, что в
