Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
ds2=-egW (dr2+r2d 02+г2 sin2 0 dy2) +dt2 (164.2)
или
ds2=-es<() {dx2-\-dy2-\-dz2) -\-dt2,
а пространство - время станет плоским и пространственно неограниченным.
Далее, общие выражения для давления и плотности (150.7) и (150.8), после
подстановки в них (164.1), приводятся к очень простому виду:
8np0 = -g-^g2 (164.3)
и
8яроо - \ g2- (164.4)
Первое из этих уравнений требует, чтобы ускорение g было всегда
отрицательным, так как иначе давление будет отрицательным. Второе
же уравнение позволяет сразу установить связь
между плотностью и допплер-эффектом. Эти уравнения могут
быть легко проинтегрированы в двух предельных случаях: когда жидкость
состоит только из вещества с пренебрежимо малым давлением, либо когда она
состоит только из излучения с давлением, пропорциональным плотности.
Если модель заполнена веществом с нулевым давлением, то из (164.3)
получаем уравнение
$ + 7(5?)'=° Ов4.5)
422
Гл. X. космология
п интеграл этого уравнения
,'ug_
at + b, (164.6)
где а и b - постоянные. Используя (164.4), находим значение одной из
констант:
6яр00е'2г. (164.7)
Если же модель заполнена только излучением с давлением, равным одной
трети от плотности энергии, выражения (164.3) и (164.4) позволяют
получить следующее уравнение:
Ж + iffj-*- <164-8>
которое имеет решение
e*=at+b. (164.9)
Постоянная а здесь принимает значение
а
= /^Роо^. (164.10)
Тем же методом, что и в конце предыдущего параграфа, легко получить
промежуток времени, истекший с момента выхода из сингулярного состояния.
В модели Эйнштейна - де Ситтера он во всяком случае не больше, чем
(i64.il)
3?
§ 165. Исследование отброшенных малых величин в рассмотренных моделях
Конкретные модели, на примере которых мы в предыдущих параграфах
продемонстрировали различные типы эволюции, были нарочно упрощены
предположениями, что давлением частиц вещества можно пренебречь и что
полная масса вещества сохраняется. Однако совершенно очевидно, что, по
крайней мере теоретически, эти предположения не являются обязательными. В
принципе мы всегда могли бы предсказать ход эволюции, если бы имели
достаточно полную информацию относительно свойств вещества, заполняющего
модель.
В общем случае, для того чтобы найти зависимость роо, Ро и g от времени,
необходимо иметь три уравнения. Два из них были
§ 165. ИССЛЕДОВАНИЕ ОТБРОШЕННЫХ МАЛЫХ ВЕЛИЧИН
423
получены в § 150, и в наиболее удобном виде их можно записать так:
а третье уравнение определяется свойствами жидкости.
Если процессы в жидкости обратимы, т. е. если давление жидкости является
функцией энергии и объема, то в качестве третьего уравнения можно взять
уравнение состояния. В общем виде это уравнение можно записать так:
где e3/2s, как мы уже видели в (151.4), пропорционально собственному
объему любого выбранного элемента жидкости. Если же в жидкости происходят
необратимые процессы, то третье уравнение будет содержать как g{t), так и
производные g(t)-Во всяком случае при наличии трех уравнений и некоторых
предположений относительно начальных условий и постоянных Л и Ro задача
становится в принципе разрешимой.
Тот факт, что в наших иллюстративных примерах мы пренебрегли давлением,
возникающим из-за хаотического движения частиц материи, вряд ли можно
рассматривать как серьезный дефект по отношению к реальной космологии. На
современном этапе эволюции нашей Вселенной мы имеем полное право считать,
что хаотическое движение туманностей действительно создает пренебрежимо
малое давление, так же как и идеальная жидкость, заполняющая нашу модель.
То же самое, по-видимому, относится и к межгалактической пыли и к другим
частицам, находящимся в межгалактических пространствах.
Однако тот факт, что мы приняли полную массу вещества в моделях
постоянной, заслуживает несколько большего внимания, так как по отношению
к реальной Вселенной это означает, что мы пренебрегаем реально имеющимся
потоком излучения от туманностей в межгалактическое пространство.
Согласно уравнению (152.7), для относительной скорости изменения массы
вещества со временем можно записать следующее уравнение:
(165.1)
и
(165.2)
(165.3)
5
424
Гл. X. космология
или, обозначив для простоты
Г 5
Роо + 8 Ро
у = 3------------------------------
• г"
(165.5)
переписать его несколько иначе:
]_dM М dt
d Ч* dt
g
(165.6)
где pm - плотность вещества в модели.
Мы ничего не можем сказать о том, чему равна величина f в реальной
Вселенной в настоящее время, так как не знаем источника космических
лучей, который тоже может быть связан с уменьшением полной массы
вещества. Однако если предположить, что любая масса во Вселенной
уменьшается с такой же скоростью, что и масса Солнца, то для ^ нужно
принять величину порядка
Ч"10-\ (165.7)
истинная же величина может оказаться еще меньшей. (Де Ситтер оценивает
ч~2-10-7.)
Точно так же мы не знаем и скорости изменения ^ во времени. Тем не менее
в разумном интервале времени можно положить у постоянной. При этом
уравнение (165.6) интегрируется и для плотности вещества получается
