Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
Кривые на этом рисунке могут быть разделены на четыре группы. Кривые I и
VII относятся к уже упомянутому случаю, когда есть материя, но нет
излучения и, наоборот, есть излучение, но нет материи, а модель
расширяется от начального статического состояния. Кривые II и IV
относятся к моделям типа М2, рассмотренным в § 157, д, которые сначала
сжимаются до несингулярного минимального радиуса, отсекаемого на
критической кривой, а затем монотонно расширяются, перерождаясь в пустую
Вселенную де Ситтера. Кривые III и V относятся к моделям типа М\,
рассмотренным в § 157, в. Эти модели монотонно расширяются от
сингулярного состояния, радиус которого в данном случае был принят равным
нулю. Наконец, кривая VI относится к предельному случаю абсолютно пустой
Вселенной.
Что касается отражения реальной Вселенной, то вселенные первого рода,
которые монотонно расширяются от сингулярного состояния, имеют то
преимущество, что они проводят достаточно большой промежуток времени вне
сингулярного состояния. Ле-мэтр [104] недавно отстаивал подобные модели и
образно описывал начальное сингулярное состояние как состояние
гигантского атома.
§ 163. Осциллирующие модели (Л=0)
Поскольку, как мы уже говорили, разумно положить космологическую
постоянную Л равной нулю и полностью исключить ее из уравнений Эйнштейна,
то следует обратить особое внимание на осциллирующие модели, которые в
этом случае становятся единственно возможными для описания закрытой
Вселенной. Поведение следующих двух моделей поддается исследованию
наиболее легко.
Первая из этих моделей была предложена Фридманом [84] еще в 1922 г.; ею
потом пользовался Эйнштейн [105]. В качестве вещества, заполняющего эту
модель, берутся невзаимодействующие частицы, число которых сохраняется и
давлением которых можно пренебречь. В этом случае в уравнениях (160.2) и
(160.3)
§ 163. ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ МОДЕЛИ
419
нужно положить Лир равными нулю. В результате зависимость радиуса от
времени будет определяться уравнением
w=±Vn-1' <'63.1)
где а- постоянная, связанная с плотностью вещества и радиусом модели
соотношением
8:rtpm^!3=a=const. (163.2)
Легко видеть, что интегралом уравнения (163.1) является циклоида в
плоскости Rt:
R = 2r (1 - cos гр), t = ^ ('Ф - sin гр), (163.3)
откуда следует, что радиус осциллирует между R = 0, радиусом
сингулярного состояния при t = 0, и максимумом R - a/З при
t = nal 6.
В основе второй осциллирующей модели лежит предположение, что вещество
внутри нее состоит исключительно из излучения черного тела [106]. В этом
случае зависимость радиуса от времени с учетом (160.2), (160.3)
определяется уравнением
(163.4)
где р - константа, связанная с радиусом и давлением излучения следующим
соотношением:
8яро-#4=Р = const. (163.5)
Интеграл уравнения (163.4) легко найти:
R=-.yf-(163.6)
причем максимум R приходится на t-0.
Как показано в § 157, осциллирующие модели существуют также и при Л=^0.
Их развитие во времени видно из рис. 9, взятого из той же работы де
Ситтера [101]. Кривая IX представляет циклоиду для случая, когда и Л, и
давление равны нулю Кривая VII относится к предельному случаю Л=ЛЕ, т. е.
к модели типа Ai, которая, расширяясь, асимптотически вырождается в
статическую эйнштейновскую Вселенную. Этот случай занимает промежуточное
положение между осциллирующими моделями типа Оi и монотонно
расширяющимися моделями типа Ми На рис. 9 представлен также ход эволюции
еще нескольких, слегка различающихся по параметрам моделей, которые
расширяются до бесконечности.
С точки зрения пригодности для описания реальной Вселенной осциллирующие
модели с Л=0 обладают тем недостатком, 27*
420
Гл. X. космология
что у них слишком мал промежуток времени, который они проводят вне
сингулярного состояния. Кроме того, они пока еще не объясняют механизм
перехода через сингулярное состояние.
Чтобы оценить, сколько времени прошло после выхода модели из сингулярного
состояния, удобнее всего воспользоваться выражением (150.7) для давления:
8лРо = -^e~g ко
Положив Л=0, перепишем его в следующем виде:
+ -Г5
1
+
8
'о 8
8я?о • " 81
(163.7)
откуда ясно, что во всяком случае можно положить
И'И-
Интегрируя по времени расширения от значений (/" g.) при сингулярном
состоянии до текущих (/, g), получаем
\_( 1 1 3
t-ta
8
8s
§ 164. ОТКРЫТАЯ МОДЕЛЬ ЭЙНШТЕЙНА - ДЕ СИТТЕРА
421
откуда видно, что для осциллирующих моделей с А=0 во всяком случае можно
написать, что
А* <4, (163.8)
з 8
где At - время, прошедшее с момента выхода из сингулярного состояния, а
значение g берется в текущий момент и для реальной Вселенной может быть
определено из красного смещения.
§ 164. Открытая модель Эйнштейна - де Ситтера (А=0, #0=оо)
Наиболее простая с математической точки зрения модель
получается, если А в выражении (149.1) для интервала ds2 положить равной
нулю, a Ro - бесконечности:
А=0, #о=оо, (164.1)
как было предложено Эйнштейном и де Ситтером [107]. Интервал тогда
запишется в следующем виде:
