Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
тех моделей, в которых вещество сохраняется и создает пренебрежимо малое
давление. Частный случай, когдя {1 = 0, был впервые исследован Фридманом.
В этом случае равнс нулю полное давление и сохраняется не только
вещество, но у полная энергия.
Решение вышеприведенного уравнения было специально рас смотрено де
Ситтером [101]. Несколько более общее уравнение, учитывающее давление
вещества и приспособленное как к откры тым, так и к закрытым моделям,
было изучено Экманом [102]
§ 161. МОДЕЛИ, РАСШИРЯЮЩИЕСЯ ИЗ СТАТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ 415
§ 161. Модели, расширяющиеся из статического начального состояния
В том случае, когда расширяющаяся модель в начальном состоянии совпадает
со статической Вселенной Эйнштейна, предыдущее уравнение, выражающее
зависимость радиуса от времени, легко интегрируется.
Сопоставляя выражения для давления я плотности (160.2) с выражениями
(139.3), (139.4) для давления и плотности в статической Вселенной
Эйнштейна, находим, что в моделях подобного рода
где Re - радиус начального статического состояния. Подставляя эти
выражения в (160.3), после довольно длинных выкладок получаем простое
уравнение:
где осталось только два параметра: RE и р.
Чтобы сделать это выражение удобным для интегрирования, выразим R в
терминах относительного приращения к первоначальному значению RE, т. е.
обозначим
Теперь (161.3) может быть переписано следующим образом:
(161.1)
и
(161.2)
3T = 7f^j/ (l+^)(R' + 2RER) + 3H, (161.3)
R - Re (1 + -V'), x = -^
(161.4)
(161.5)
где ради краткости обозначено
VX = У хг + 4 х + С2
(161.6)
416
ГЛ. X. космология
Интегрируя (161.5), получаем
УЗ R,
Vi + P/Rl
ln(x + VX + 2) \ ~ In -+ ~'
с х + ух + Сл
+ const, (161.8)
откуда определяется x, а значит и R=R0e'hg(-l>, как функция времени.
Так как второй член в этом выражении стремится к минус бесконечности,
когда х стремится к нулю, а первый член стремится к плюс бесконечности,
когда х стремится к бесконечности, отсюда видно, что модель должна
монотонно расширяться, перерождаясь из статической эйнштейновской
Вселенной с R=Rx при t=-oо в пустую Вселенную де Ситтера при t=oо,
приближаясь к обоим этим состояниям асимптотически.
Влияние давления излучения на расширение определяется во всех
вышеприведенных выражениях фактором Легко ви-
деть, однако, что это влияние должно быть заведомо мало, так как согласно
(161.1) и (161.2) можно записать, что
Р_ _ 2/?? /lfil Q\
R\ Р е + Рн ( }
где рЕ и р? - давление и плотность начального статического
эйнштейновского состояния. Отсюда видно, что $/R% во всяком случае может
принимать только значения между нулем (если
модель седержит вещество без излучения) и -у (если модель
содержит только излучение). Учитывая теперь то, каким образом эта
величина входит в вышеприведенное выражение, мы можем утверждать, что
процесс расширения первоначально определяется только радиусом RE
исходного статического состояния.
Этот факт специально исследован де Ситтером [101], который рассмотрел
поведение во времени двух моделей, для которых
Р = 0 и = (161.10)
т. е. когда нет или излучения, или вещества, соответственно. Для первого
случая уравнение (161.8) приводится к виду
t = V3Rt
In lx + ух Н- 2) +
i х + Vx-Vz -r=. In уз
+ yx + V3
+ const,
(161.11)
§ 161. МОДЕЛИ, РАСШИРЯЮЩИЕСЯ ИЗ СТАТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ 417
а для второго - к гораздо более простому выражению:
t - ^=1п4 (х2 -4- 2х) -f const = yL In (R2 - R2E) -j- const. (161.12) у 2
У 2
Однако при одинаковых значениях RE оба выражения даюг очень похожие
картины расширения, как видно из кривых I и VII на рис. 8, взятом из
статьи де Ситтера. Отсюда ясно, что модель с нулевым давлением, которую
Лемэтр рассматривал в 1927 г. с целью определить ее пригодность для
описания реальной Вселенной, является хорошим представителем всего класса
подобных моделей.
Иногда расширяющиеся Вселенные, которые в начальном состоянии совпадают
со статической эйнштейновской Вселенной,
Рве. 8.
привлекали внимание космологов тем, что уравнения в этом случае не
приводят к сингулярным состояниям, и тем, что у этих моделей есть
бесконечный запас времени для прошлых космологических процессов. Однако
после работ Эддингтона [94] и других [103, 69] стало ясно, что
логарифмически бесконечный запас для прошедшего времени в подобных
моделях не имеет практического значения из-за неустойчивости статической
эйнштейновской Вселенной, о чем мы уже говорили в § 159.
27 Р. Толмем
418
Гл. X. космология
§ 162. Монотонно расширяющиеся модели с нестатическим начальным
состоянием
Для моделей, которые расширяются не от статического начального состояния,
в общем случае нельзя получить простое функциональное соотношение между
радиусом и временем, подобное уравнению (160.3), справедливому, когда
количество вещества сохраняется. Однако можно провести численные расчеты.
На рис. 8 представлены кривые зависимости радиуса от времени для
некоторых моделей подобного рода, рассчитанные де Ситтером.
