Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
эволюции более феноменологически, разлагая g(t) в ряд по степеням t с
коэффициентами, определяемыми по мере возможности из данных наблюдений но
красному смещению, давлению и плотности реальной Вселенной.
а) Общие черты эволюции (R вещественно, роо^О, р0^0)*). Для начала
предположим, что модель закрыта и радиус Ro действителен. Далее,
предположим, что в веществе, заполняющем модель, нет сил, препятствующих
растяжению, так что плотность роо и давление ро из физических соображений
могут быть только нулем или больше нуля.
В качестве уравнений, связывающих плотность и давление этого вещества с
g(t), удобно взять (151.6) и (150.8):
^(рмеШ'Л + p0^(e'i^ = 0,
8лр0
L-e-g(0 + ±.( *&.)*-
4 h 4 Idt I
(157.1)
Л.
Эти уравнения эквивалентны ранее полученным уравнениям
(150.7) и (150.8). Их можно упростить, если ввести радиус модели
/? = ?//."<>. (157.2)
При этом первое из уравнений - уравнение для энергии - принимает вид
-й-(РооКЧ+Р"1Г (/?•)= о
откуда
d (Pooft3) о п П2
dR Р о
И
dPrto 3 (р0 + р00)
dR * R
Таким образом, из предположений, сделанных относительно R, р-JO и Ра,
следует, что величины (роо^з) и роо с увеличением
(157.3)
(157.4)
(157.5)
*) Содержание этого раздела следует работе [95].
§ 157. ВРЕМЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ЗАКРЫТЫХ МОДЕЛЕЙ
403
R могут только уменьшаться или оставаться постоянными. Более того, из
(157.5) видно, что при стремлении радиуса к бесконечности плотность
жидкости стремится к нулю, и, следовательно, все бесконечно расширяющиеся
модели в конце концов перерождаются в модель де Ситтера.
Подставляя (157.2) во второе уравнение (157.1), получаем
dR \2 _ 8лр00/?2 , \R* ,
dt ) 3^3
Отсюда легко определить скорость изменения радиуса модели со временем:
dR dt
± Ь (157.6)
Так как величина, стоящая под корнем, должна быть обязательно
положительной или нулем, то при любом заданном значении космологической
постоянной А должно выполняться неравенство
- -8лр00<А, (157.7)
которое естественным образом ограничивает величину радиуса,
если поведение модели должно быть действительным. При этом равенство
-|г-8лр00 = Л (157.8)
указывает, при каком значении радиус R прекращает свое изменение во
времени или начинает изменяться в обратном направлении.
б) Зависимость критической функции от R. Чтобы исследовать поведение
критической величины
8лРо0) = ~ (3 - 8-^^) (157.9)
как функции радиуса R по мере того, как R в условиях заданной модели
меняется во времени, было бы желательно хотя бы приблизительно построить
график зависимости Q(R) от R.
Дифференцируя Q по R и приравнивая производную нулю,
получаем
dQ - _ б ^Роо _ А
dR R* ° dR ~и'
используя (157.5),
Щ G I 24л (р0в + /?*) "п 7 1 С -7 1 А \
~Ж - - цг + R °* (157.10)
26*
404
ГЛ. X. космология
Уравнение (157.10) выражает необходимое условие максимума, минимума или
точки перегиба функции. Объединяя
(157.10) с (157.9), получаем значение функции Q(R) в этих точках:
Q = 4r+6np0 (>0). (157.11)
Дифференцируя второй раз, находим
d2Q _ 18 24л (pop + р0) , 24л dp00 , 24л dp0 (<Ц
О,
______________________________________________L -Г(tm)" _1_ -Г"., ;
- о
dR2 R* R2 ^ R dR ^ R dR и>
или, используя (157.10) и (157.5),
dPo f<'] Роо + Ро dR (-) Л '
(157.12)
откуда в зависимости-от знака (<), (==), (>) имеем достаточное условие
того, что данная точка является соответственно максимумом, точкой
перегиба или минимумом функции Q{R). Причем из (157.12) видно, что
рассматриваемая кривая могла бы
иметь точки перегиба или минимума только в том случае, если бы давление
могло возрастать при расширении.
Опираясь на полученные результаты, можно теперь прикинуть ход кривой Q{R)
в зависимости от R, как показано на рис. 6, по мере того как R возрастает
со временем.
Те участки кривой,относительно которых мы имеем достаточно полную
информацию, изображены сплош-
ной линией. Это - участки А, В и С. Они могут быть Рис. 6.
интерпретированы следую-
щим образом. (А) Согласно (157.4) величина рооД3 с ростом R может только
убывать или оставаться постоянной. Поэтому, исключая неинтересный для
нас в настоящий момент случай абсолютно пустой
модели,
из (157.9) получаем, что Q возрастает асимптотически от -
ос
при R = 0 до пересечения с осью Q - 0 и затем продолжает возрастать по
мере увеличения R. При этом никаких точек пере-
§ 157. ВРЕМЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ЗАКРЫТЫХ МОДЕЛЕЙ
405
гнба или максимумов до пересечения с осью Q = 0 быть не может, так как
согласно (157.11) такие точки могут быть только при положительных
значениях Q. (В) Если R продолжает возрастать, то кривая Q{R) в конце
концов должна достичь хотя бы одного максимума, так как из (157.9)
следует, что рано или поздно Q{R) будет убывать с возрастанием R. (С)
Наконец, при стремлении R к бесконечности кривая Q(R) согласно
(157.9) асимптотически приближается к нулю, как 3IR2.
Те участки кривой а, Ь, с, относительно которых мы не можем сказать
ничего определенного, показаны на чертеже штриховыми линиями. Эти участки
могут содержать как точки перегиба, например, на участке а, так и точки
