Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
выражение
= <*•-*•> _j (156.1)
по г - координатному расстоянию до источника. При этом мы можем g2
считать постоянным, так как g2 представляет собой значение g(t) в тот
момент времени /2, когда свет достигает начала координат, а мы хотим
сравнивать допплер-эффект от различных источников, наблюдаемых в один и
тот же момент t2, который мы можем отмечать как "сейчас". С другой
стороны, g> меняется с изменением г, так как чем дальше от нас находится
источник, тем раньше должно произойти испускание света (/i), чтобы свет
успел к моменту /2 достичь начала координат. Одним словом, дифференцируя
(156.1), получаем
d ( 6%\ 1 , dgj_ dt
ЧГ[~ТГ) - ~-Yeh{gi-gt)~dF-ir, (156.2)
где dt равно приращению времени излучения при увеличении координатного
расстояния на dr.
Однако дифференциалы dt и dr связаны друг с другом посредством скорости
света, которая в свою очередь определяется
400
гл. х. космология
выражением интервала
Поэтому выражение (156.2), определяющее зависимость доп-плер-эффекта от
расстояния, можно представить в следующем виде:
где gi - скорость изменения g(t) в момент испускания света.
Для дальнейшего удобно переписать этот результат еще и в координатах г,
0, ф, которые связаны с координатами г, 0, ф преобразованием (149.4) и
приводят выражение для интервала к виду (149.5):
Из этого выражения для интервала видно, что допплер-эффект зависит от
координатного расстояния г следующим образом:
Поскольку, как будет показано дальше, обе координаты гиг в первом порядке
пропорциональны расстояниям, принятым в астрономии, то из приведенных
формул вытекает, что между красным смещением и расстоянием имеется
линейная зависимость вплоть до тех расстояний, где становятся важными
более высокие производные от gi. Более полное обсуждение зависимости
допплер-эффекта от расстояния станет возможно только в IV части настоящей
главы, в которой g(t) будет представлена в виде ряда по степеням t.
Чтобы закончить несколько затянувшееся рассмотрение допплер-эффекта в
расширяющихся или сжимающихся моделях, покажем с расчетом на будущее, что
длина волны или частота отдельного светового кванта, или фотона,
измеряемая наблюдателями, выстроенными вдоль его пути, будет меняться со
временем определенным образом при условии, что эти наблюдатели покоятся
относительно г, 0, ф. Для этого обратимся к нашей точной формуле (155.6)
для длины волны (Х+бХ) света, испущенного в момент t\ источником при
произвольном его положении и скорости. Этот свет достигает наблюдателя,
покоящегося
V s St
(156.4)
ds2 = -
r2dd2 -f- г2 sin2 0с/ф2^ -f dt2. (156.5)
(156.6)
157. ВРЕМЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ЗАКРЫТЫХ МОДЕЛИ"!
401
относительно выбранных координат, в момент t2. Если мы расставим
несколько таких наблюдателей вдоль траектории фотона, то очевидно, что
единственной величиной, меняющейся в этой формуле от наблюдателя к
наблюдателю, будет g2, которая представляет собой g(t) в моменты
наблюдений.
Возьмем логарифмическую производную от (155.6) по времени тогда для
различных наблюдателей будем иметь
d In (X + 8к) _ 1 dga (\М7\
dt 2 dt (loo.I)
или, переходя к частотам, запишем это выражение в более удобном виде:
1______________________LJ?JL П56 81
v dt ~ 2 dt ' (iOO.ti)
где v - частота любого фотона, измеренная наблюдателем, покоящимся
относительно системы координат г, 0, tp, a g есть значение функции g(t),
характеризующей модель как целое в интересующий нас момент времени.
§ 157. Временная эволюция закрытых моделей
Вывод выражения для нестатического интервала
ds* -----[1 +^"/4flgja r4Q2 + Sin2 9 ^ + dt*
для однородных космологических моделей не накладывал непосредственно
никаких ограничений на поведение этих моделей в зависимости от времени.
Поэтому, чтобы определить характер эволюции, мы должны обсудить вид не
конкретизировавшейся до сих пор функции g(t). К этому мы теперь и
приступим с нескольких сторон.
Согласно уравнениям (150.7) и (150.8) давление и плотность жидкости,
заполняющей по нашему предположению модель, явно зависят от g(t) и ее
производных. Следовательно, можно считать, что временное поведение модели
определяется свойствами этой жидкости. В этом параграфе, посвященном
закрытым моделям Вселенной с вещественным ^о, и в следующем параграфе,
посвященном открытым моделям с Ro бесконечным или мнимым, мы обсудим с
общих позиций различные типы временного поведения, когда на свойства
жидкости накладываются только самые общие ограничения, такие, как
требование неотрицательности давления и плотности. В следующих параграфах
этой части настоящей главы мы обсудим эволюцию Вселенной при более
определенных предположениях относительно природы модели и
26 Р. Толмен
402
ГЛ. X. космология
жидкости, заполняющей ее. В III части настоящей главы мы вернемся к
термодинамическим аспектам тех изменений, которые могут иметь место в
космологических моделях в зависимости от времени, и, наконец, в IV части,
при сравнении с наблюдениями, мы будем иметь возможность подойти к
