Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
материальных частиц ничтожна по сравнению с плотностью
Р. Толмен
386 гл- х- космология
собственной массы частиц, следовательно, грубо говоря, мы можем принять,
что
pm = роо-3/?о, (150.9)
где рт составляет ту часть плотности энергии, которая непосредственно
относится к массе туманностей и вещества, распыленного в огромных
пространствах между ними. При этом уравнение
(150.9) становится точным, когда давлением материи можно полностью
пренебречь.
Комбинируя выражения (150.7) и (150.8), мы можем для плотности вещества
во Вселенной написать следующее приближенное выражение
8яРт = ^ esw + 3g + 3g2 ~ 4A. (150.10)
§ 151. Изменение энергии со временем
Подставляя компоненты тензора энергии - импульса (150.5) и (150.6) в
общее уравнение релятивистской механики
1 ~ар dggp ~ / - г. ,.
73г-° (16Ы>
для случая ц - 4 и имея в виду, что ?44=1, получаем
St (роо у^ё) + т Ро v^g (gn + g22 Ц* + g33 Щ = 0.
Или, подставляя вместо компонент метрического тензора их выражения из
интересующей нас формулы интервала (150.2): 0(0
ds* = -е о т212 (dr2 + r2dQ2 + г2 sin2 0 aV) + dt2, (151.2)
[1 + г2/
легко находим, что уравнение сводится к виду
р00г= sin 0 е Л?(0 J д( г2 sin 8 е/ig<1 j " ,,,,
Этому результату можно дать непосредственную физическую интерпретацию. Из
выражения (151.2) следует, что в любой заданный момент времени t величина
собственного объема, измеряемого локальным наблюдателем и отвечающего
разности координат б г 60 бф равна
§ 151. ИЗМЕНЕНИЕ ЭНЕРГИИ СО ВРЕМЕНЕМ
387
При этом, поскольку система отсчета является сопутствующей, то указанный
элемент объема будет, с точки зрения локального наблюдателя,
представляться объемом элемента жидкости, за-ключеного перманентно внутри
рассматриваемой области координат. Поэтому, комбинируя (151.3) и (154.4),
мы можем на-писать ^
(Роо^ио) Ро (^уо) ^ О- (151.5)
В результате получаем соотношение между изменением энергии (рообсд)
элемента жидкости и работой, производимой данным элементом над окружающей
средой при адиабатическом изменении объема.
Из уравнений (151.4) и (151.5) вытекает, что объем каждого элемента
жидкости, заполняющей данную модель, должен возрастать со временем, если
g(t) -возрастающая функция времени, и уменьшаться, если g(i) убывает.
Более того, если р0-¦ величина положительная и больше нуля, то и
собственная энергия каждого элемента жидкости в данной модели будет либо
убывать, если g(t) возрастает, либо возрастать, если g(t) убывает.
Следозательно, за исключением частного случая, когда давление равно нулю,
полная собственная энергия жидкости, вообще говоря, оставаться постоянной
не будет, и закон сохранения энергии будет соблюден только при учете
потенциальной энергии гравитационного поля, которую можно ввести тем же
способом, как и в § 87.
Имея в виду дальнейшее, перепишем уравнение (151.3) в следующем виде:
Это, очевидно, можно сделать благодаря взаимной независимости координат
г, 0, ф и t.
Справедливость последнего уравнения легко проверить прямой подстановкой
выражений (150.7) и (150.8) для р0о и ро. Это и естественно, так как
фундаментальное уравнение для компонент тензора энергии - импульса
содержит, как мы уже видели, всю ту информацию, какая содержится в
уравнениях механики
поскольку последние могут быть получены из него.
(151.6)
25*
388
ГЛ. X. космология
В дальнейшем нам часто будет удобно рассматривать (151.6) и (150.8)
вместе, поскольку эти уравнения связывают давление и плотность жидкости с
интервалом и позволяют уравнение второго порядка (150.7) заменить
уравнением первого порядка (151.6).
§ 152. Изменение количества вещества со временем
С помощью приближенного выражения (150.9) для той части полной плотности
энергии
р(tm)=роо-Зро, (152.1)
которая связана только с массой туманностей и межгалактического вещества,
мы можем проследить изменение массы вещества, заключенного в модели, в
зависимости от времени [99]. Подставляя (152.1) в (151.5), получаем
§ (pmSw0) +3jf (AM) + Ро Zt = 0. (152.2)
Полагая, что
•M=pm6t>o (152.3)
представляет собой полную собственную массу туманностей и других частиц в
заданном элементе объема, и используя (151.4), перепишем уравнение
(152.2) в следующем виде:
L ЛМ _ 6Podg , 3_dpo пцод'!
Mdt pmdt^pmdf
Этим уравнением и определяется относительная скорость изменения
собственной массы вещества, находящегося внутри изучаемой модели.
Если предположить, что давление постоянно и равно нулю, то окажется, что
и скорость изменения массы будет равна нулю, иными словами, будет
выполняться закон сохранения вещества
и одновременно закон сохранения полной собственной энергии,
который уже упоминался для этого частного случая при обсуждении уравнения
(151.5).
Точно так же закон сохранения вещества будет выполняться и в том случае,
когда давление подчиняется условию
6'"о4г+3^ = 0, (152.5)
или в другом виде
3 о) + Ро -JT (Н) = о- (152-6)
Это условие, как будет видно дальше, выполняется в такой модели, которая
содержит неизменное количество вещества, создающего пренебрежимо малое
