Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Толмен Р. -> "Относительность. Термодинамика и космология" -> 147

Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.

Толмен Р. Относительность. Термодинамика и космология — М.: Наука, 1974. — 520 c.
Скачать (прямая ссылка): otnositelnosttermodinamikaikosmologiya1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 205 >> Следующая

полную трехмерную сферу, погруженную в четырехмерное евклидово
пространство (zu z%, Z3, Z4)
п определяемую с помощью уравнения
zf + z\ -f- Z3 -f- zf = Rq. (149.11)
Так как согласно (149.10) координатному расстоянию dz\ в момент t
соответствует собственное расстояние
dl0 - dzlt (149.12)
а для других пространственных координат расстояние записывается
аналогично, то радиус сферической поверхности должен быть, очевидно,
равен
R - R0e '/3Sit) (149.13)
Эту величину часто называют радиусом нестатической Вселенной, а о
геометрии этой Вселенной говорят как о геометрии четырехмерной сферы с
радиусом, зависящим от времени. Следует, однако, отметить, что радиус
i?0, согласно определению (148.19), может быть в равной мере
действительным, мнимым и бесконечным.
Если предположить, что радиус действителен, то полный собственный
пространственный объем модели в некоторый
§ 149. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕРВАЛА
379
выбранный момент, согласно (149.7), равен 2я я я
%sin0d%d0dcp =* 2n2Rae3lieit), (149.14) а полная собственная кругосветная
длина Вселенной равна
l0 = 2nR0e'i*v>. (149.15)
В случае, когда пространственная геометрия является эллиптической, а не
сферической, полученные величины должны быть в два раза меньше.
Если радиус Ro бесконечен или есть мнимая величина, модель является
пространственно открытой, а не закрытой. Собственный объем в этом случае
удобнее записать, исходя из выражения для интервала ds2 (149.5):
2л л оо
v* " И ? sin 9 d?dQ dcp = 00•
ooo V 1 + г2/Л2
где A2 - положительная постоянная, которая может принимать и бесконечное
значение. Верхний предел интеграла по г должен быть тоже взят
бесконечным, поскольку знак интервала ds2 при этом не меняется, т. е.
физический смысл интервала ds2 сохраняется при всех значениях г.
Вычисление интеграла показывает, что открытые модели имеют бесконечный
собственный объем.
Симметричная форма, к которой нам удалось свести интервал
(149.10) ценою перехода в пространство большего числа измерений, очень
полезна для ясной демонстрации пространственной однородности модели,
упоминавшейся уже в связи с (148.14). То, что предположение о
пространственной изотропии во всех точках пространства и времени для
покоящегося наблюдателя приводит к разделению на пространство и
ортогональное к нему время и к однородности пространства, есть на самом
деле интересное следствие теоремы Шура, известной в римановой геометрии.
Именно благодаря этому результату изучаемые здесь модели Вселенной
называются нестатическими однородными космологическими моделями.
в) Сдвиг начала координат. Поскольку модель пространственно однородна,
начало координат можно выбрать в любой точке, и это не должно влиять на
вид интервала. Действительно, нетрудно показать, что при перемещении
начала координат из одной точки в другую вид интервала не меняется, но
интереснее всего то, что координаты нового центра в старой системе
отсчета оказываются связанными с координатами старого центра в новой
330 гл. X. космология
системе отсчета вполне естественным соотношением. Это мы сейчас и
продемонстрируем [98].
Для дальнейшего изложения выберем систему координат (г, 0, ф, t) в
соответствии с третьей формулой интервала ds2
(149.5):
ds2 = - ее(,) (¦-d- .~g г r2d02 -f г2 sin2 0 d<f2' 4- dt2. (149.16) - r2
R0
Рассмотрим туманность, покоящуюся в начале координат, и наблюдателя,
закрепленного в точке г=а. Затем переместим начало координат в точку, где
находится наблюдатель.
В первоначальной системе координат S можно следующим образом фиксировать
координаты туманности и наблюдателя:
Система S \ г 0 ! Ф
Туманность 0 .. .. (149.17)
Наблюдатель
Угловые координаты в начале отсчета, конечно, произвольны, для
наблюдателя же удобнее всего угловые координаты выбрать так, чтобы 0-ф=0.
Этот выбор можно всегда сделать, так как отсчет углов можно начинать с
произвольного направления.
Посмотрим теперь, что произойдет, если перейти к новой системе координат
S' того же типа, что и S, но с началом отсчета, помещенным в точку, где
находится наблюдатель. Чтобы произвести это преобразование, проще всего
перейти к промежуточной системе координат, определяемой выражением
интервала
(149.10), согласно которому наше пространство можно трактовать как
поверхность, погруженную в евклидово пространство с числом измерений на
единицу большим. С помощью формул преобразования (149.8) мы сначала
перейдем к новой системе координат Sz, в которой пространственные
координаты для туманности и наблюдателя записываются следующим образом:
Система S2 Zl z2 z3 Z4
Туманность Ro 0 0 0
Наблюдатель R0 у 1 _ a4Rl 0 0 a
Затем перейдем к системе координат Sz. Соответствующее преобразование
можно рассматривать как поворот в плоскости ZiZ4:
2j = Z1 COS ОС + 24 sin ОС, 22 =: 2",
(149.19)
zA = - z1 sin ос +24 cos а, 2з = 23,
§ 149. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕРВАЛА
381
где
sin а =
я.'
cosa=]/r 1--$• (149.20)
V Ro
В результате новые координаты туманности и наблюдателя будут
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed