Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Толмен Р. -> "Относительность. Термодинамика и космология" -> 146

Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.

Толмен Р. Относительность. Термодинамика и космология — М.: Наука, 1974. — 520 c.
Скачать (прямая ссылка): otnositelnosttermodinamikaikosmologiya1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 140 141 142 143 144 145 < 146 > 147 148 149 150 151 152 .. 205 >> Следующая

О г* ./'* , 2П . 3 "i Л
8лТ( = - е П + -j- + 7 I -г -j g2 - Л,
где
(ПС t)=f(r)+g(t),
штрихи означают производные по г, а точки - производные по t. Конечно,
эти формулы дают компоненты тензора энергии - импульса в заданной системе
координат (г, 0, ф, t). Однако систему координат можно при желании
изменить. Пусть в некоторой точке имеется неподвижный относительно (г, 0,
<р) локальный наблюдатель. Собственную систему' этого наблюдателя {xq, у
о, z0, tо) можно выбрать таким образом, чтобы соотношения
dxQ = e'^v-dr, dya = е 2,lr dQ, dz0 = е'/жг sin 0 dcp, dt0 - dt
выполнялись в окрестности этой точки. При этом, если согласно общим
правилам преобразования тензоров привести указанные выше компоненты к
собственным координатам наблюдателя, то окажется, что тензор энергии -
импульса в новых координатах будет иметь тот же вид. Например:
1 дх0 rrxx i и 'pi ipi
Следовательно, выражения (148.15) дают компоненты тензора энергии -
импульса и в собственной системе координат, используемой локальным
наблюдателем, неподвижным относительно окружающей его материи. А так как,
по нашему предположению, мир является пространственно изотропным для всех
наблюдателей подобного рода, то это значит, что измеряемые натяжения
должны быть симметричны относительно направлений х, у иг. Иными словами,
Г} = 71 =71, (148.16)
откуда, с учетом (148.15), получаем уравнение, определяющее
376
ГЛ. X. космология
вид функций /(г):
ri + L = H + L
4 г 2 ' 2т'
В качестве первого интеграла этого уравнения имеем
df
Тг = °'ге '
где с 1-постоянная интегрирования. В качестве второго интеграла получаем
<148Л8>
где с2 - вторая постоянная интегрирования.
Этим завершается наш вывод. Вернувшись к исходному выражению для
интервала (148.14), включим постоянную 1/с| в множитель e8<i) и
обозначим, как обычно,
тл9)
где R о - постоянная, которая может быть положительной, отрицательной или
бесконечной. В результате получаем окончательное выражение:
РеО)
ds2 = - ---------5-, (dr2 -f r2dQ2 -f- г2 sin2 0 d(p2) + dt2, (148.20)
[l + r44R2\2 '
где g(t) - все еще неопределенная функция времени t.
Мы привели такой длинный вывод, так как нам хотелось показать с помощью
цепочки рассуждений, каждое звено которой имеет ясный физический смысл,
что предположение о крупномасштабной пространственной изотропии
Вселенной, которую обнаруживает наблюдатель, находящийся в покое
относительно своей окрестности, вместе с принципами релятивистской
механики приводят с необходимостью к указанному выражению для интервала.
Поэтому, если мы в дальнейшем разочаруемся по каким-либо причинам,
философским или наблюдательным, в результатах, полученных в
рассматриваемой модели, то нам при"
§ 149. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕРВАЛА 377
дется либо видоизменить принципы релятивистской механики, либо отказаться
от мысли, что все наблюдатели во Вселенной увидят все явления в больших
масштабах не зависящими от направления.
§ 149. Общие свойства интервала
а) Некоторые формулы для интервала. Выражение для интервала ds2 в
нестатической модели
""(О
dsi = 2Тг(^2 + rW-f r2sin20dcp2) + dt2 (149.1)
+ r Ioj
можно видоизменить путем преобразования координат. Это бывает удобно либо
для приложений, либо для лучшего понимания внутренней геометрии модели.
С помощью очевидной подстановки
x=rsin9coscp, у-г sin 9 sin ф, z=cos9 (149.2)
получаем
.gU)
ds2 = ~ г, ¦ В212 (dx2 + dy2 + dz2) + dt2> ( 149.31
[1 +r*,4R2\2
где ___________
г = Ух2 -j-у2 + z2.
Это выражение наиболее убедительно показывает, что модель в каждой точке
пространственно изотропна.
После подстановки
г=- г--я- (149.4)
1 + r*l4R2 К '
интервал ds2 принимает вид
ds2 = - ee(t) ^ + r2d§2 + г2 sin2 9 dtp2 j -f dt2. (149.5)
Это выражение интересно сравнить с одним из известных выражений для
статического эйнштейновского интервала*). Подстановка
r=/?0sinx (149.6)
позволяет получить еще одно выражение: ds2 = - (dy2 4 sin2 ydQ2 +
sin2 % sin2 0^ф2) -j- dt2. (149.7)
*) При сравнении преобразования (149.4) с преобразованием (138.2),
Рассмотренным в связи с эйнштейновской моделью, следует отметить, что г и
г в (149.4) аналогичны соответственно р и г в (138.2).
378 i'л. x. космология
Наконец, переходя к большему числу измерений с помощью обозначений
zi - У 1 - r'IRl z2 = r sin 0 cos с;,
г3 = г sin 0 sin ф, 24 = rcos0, (149.8)
где
21 "Г 22 + 2з -j- Z4 - /?о, (149.9)
получаем следующий результат:
ds2 = - eg{t) (dzi + dzl -f dzl -f dz%) + dt2, (149,10)
который позволяет в каждый данный момент рассматривать нашу модель как
поверхность, погруженную в евклидово пространство большего числа
измерений.
б) Внутренняя геометрия модели. Как и в случае статической
эйнштейновской Вселенной, тип геометрии еще не определяется видом
интервала, так как еще можно делать различные предположения о связности и
об идентификации точек.
Однако, судя по последнему выражению, проще всего пространственную часть
нестатической Вселенной рассматривать в каждый данный момент t как
Предыдущая << 1 .. 140 141 142 143 144 145 < 146 > 147 148 149 150 151 152 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed