Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
соответствии с обычным определением статической системы будем считать
потенциалы gu, ?24 и g34 равными нулю, а остальные gu и g44- зависящими
неким произвольным образом от пространственных координат х1, х2 и я3, но
не от временной координаты t. Заметим также, что при нашем выборе
интервала потенциал g44 обладает следующим простым свойством:
(129.2)
Найдем, пользуясь формулами из § 109, тензор энергии - импульса черного
излучения для поля, описываемого интервалом (129.1). Искомое выражение
имеет, очевидно, вид
= (Роо + Ро) -^Ро (129.3)
при дополнительном условии
роо=3/?о- (129.4)
Далее, замечая, что в случае статической системы полная макроскопическая
скорость радиационного потока должна
§ 129. ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ В СТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
323
;авняться нулю, пишем
dx1 dx^
ds ds
= 0 (i,/= 1,2,3). (129.5)
При данном выборе интервала четвертая компонента "скорости" имеет вид
^-^=тк=]^- (|296)
Подставив два последних выражения в (129.3), найдем единственные
неисчезающие компоненты тензора энергии - импульса:
T**=g**pm. (129.7)
Опуская индекс, получаем
Т) = g;aT'¦* = -giag':ap0 = -gCiP0,
Ti = gli T44 = g44g44Po0 = PoO'
Таким образом, единственными неисчезающими компонентами смешанного
тензора энергии - импульса являются
Т\ = Т\ = Т\ = - р0, Т\ = р00. (129.8)
Теперь мы полностью готовы к тому, чтобы с помощью законов релятивистской
механики, записанных в их обычной форме
а L sag- n
дх* 2 * дх(i ~U-
вычислить давление в нашем радиационном термометре. Положив в последнем
уравнении р=1 и подставив в него выражения
(129.7) и (129.8), получим
дх1 \ PoV-g)------r(-gi<'PoV-g]-^
-^{gi4PooV-g)^ = 0,
что можно, очевидно, переписать следующим образом:
324
ГЛ. IX. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ термодинамика
Это уравнение, однако, легко упростить с помощью соотношения (39) из
Приложения III:
pH ~'1L J- giijHi" = = J_ А
(r) дх1 ° дх1 ° дх1 g дх1 *
которое позволяет сократить второй и третий члены в основном
уравнении и приводит к результату
дР о | Роо 4" Ро л л dg44 л
IF" 2-----S44 IF- = °-
Привлекая еще (129.2) и (129.4), получаем зависимость давления в
радиационном термометре от координаты Xх в следующем простом виде:
+ = (129.9)
Так как подобные соотношения легко найти и для других пространственных
координат, можно обобщить эту зависимость радиационного давления от
координат, выразив ее в чрезвычайно компактной форме:
Po(g44)2=const.
Если же подставить сюда давление р0, пользуясь законом Стефана -
Больцмана
1 т,4
Ро ^ >
то немедленно найдем искомое выражение для зависимости собственной
температуры от положения в произвольном статическом поле:
Т0У1^ = С, (129.10)
где величина С одинакова для всех частей системы.
Сделаем несколько замечаний, касающихся этого окончательного простого
результата.
Во-первых, сравнивая его с (128.6), убеждаемся в том, что условия
теплового равновесия в жидкой сфере можно рассматривать как частный
случай общего выражения, найденного для произвольного статического поля.
Поскольку первый результат был получен из принципов релятивистской
термодинамики, а второй- с помощью лишь законов механики (не считая
использования закона Стефана - Больцмана в окончательном выражении), их
тождественность еще раз подтверждает справедливость новой термодинамики.
Аналогичный факт отмечался в конце предыдущего параграфа.
§ i2B. ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ В СТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
325
Bo-втсрых, следует отметить, что избранный нами метод ис-следования
позволил доказать постоянство произведения Т0 лишь для точек, находящихся
внутри радиационного термометра. Однако, так как Т0 и gu- безусловно
непрерывные функции от координат внутри термометра, этот результат можно
распространить и на саму систему в областях ее контакта с термометром.
Отметим еще одно обстоятельство. В-ыше молчаливо допускалось, что в
изучаемую систему можно ввести радиационный термометр, связывающий ее
отдельные части, температуры которых мы хотим сравнить, не вызывая при
этом существенных возмущений в самой системе. Однако было бы теперь
весьма уместным подкрепить это предположение какими-нибудь доводами.
Рассмотрим для примера гравитационную систему, содержащую твердые тела.
Если мы желаем узнать внутреннюю их температуру с помощью описанного выше
метода, в этих телах надо прорезать щели для введения радиационных
термометров. Это неизбежно приведет к некоторым изменениям гравитационных
потенциалов guv, которые непосредственно связаны с распределениями
вещества и энергии в системе. Однако так как уравнения являются
дифференциальными:
8лТ|xv ~ tfnv 2~ ~Т
и выражают распределения вещества и энергии через тензор ?цУ и его первые
и вторые производные, то вполне разумно предполагать, что термометры
малых размеров не приводят к серьезным изменениям величин Было бы,
конечно, полезно продолжить исследование этого вопроса, так как могут
существовать какие-то интересные исключения.
И наконец, заметим, что несмотря на то, что в гравитационной системе,
находящейся в состоянии теплового равновесия, собственная температура Т0
