Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Толмен Р. -> "Относительность. Термодинамика и космология" -> 100

Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.

Толмен Р. Относительность. Термодинамика и космология — М.: Наука, 1974. — 520 c.
Скачать (прямая ссылка): otnositelnosttermodinamikaikosmologiya1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 205 >> Следующая

к уравнению
254 гл. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
которое, как мы убедимся в дальнейшем, имеет решение
е" V = А - В У1 - r2/R2 , (96.8)
где А и В - константы интегрирования.
Исходя из (96.7) и (96.8), мы можем теперь записать внутреннее решение
Шварцшильда для жидкой сферы, имеющей постоянную плотность роо, в
следующем виде:
ds2 = - T~7W ~ r4Q2 " Sin2 0 d(p* + {-A~B Vl-rVR2}2 dt2,
(96.9)
или, производя подстановку
sinx=-jrr, (96.10)
в виде выражения
ds2=-R2 (с?х2+sin2 х cf02+sin2 x+sin2 0 dy2) -f-
-f (Л-В cos %)2dt2, (96.11)
из которого следует, что пространственная геометрия внутри жидкости
совпадает с геометрией четырехмерной сферической "поверхности".
Давление, соответствующее интервалу (96.9), легко найти с помощью (96.4).
Выпишем результат:
о " \ ( 3B/T=7w-A\ , . /п" ...
8лРо R* А_в уГГ-г*Г& j ( }
Пренебрегая членами, содержащими Л, которые во всяком случае могут быть
существенными лишь на больших расстояниях от начала координат, мы можем
затем приравнять нулю давление на границе сферы г-г\ и сшить на этой
границе внутреннее решение (96.9) с внешним решением (96.3), придавая
стоящим з них константам следующие значения:
А = ~ ~ Ж' В = ~2~ т = НГ- Poori •
(96.13)
Этим завершается исследование поставленной проблемы.
Для того чтобы найденное решение было действительным, должны выполняться
неравенства
§ 97. ЭНЕРГИЯ СФЕРЫ ИЗ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
255
которые накладывают верхний предел на возможные размеры сферы с данной
плотностью и на массу сферы при данном радиусе. Эти ограничения, однако,
настолько слабы, что до сих пор не привели ни к каким противоречиям с
данными астрофизических наблюдений*).
§ 97. Энергия сферы из идеальной жидкости
Прежде чем закончить обсуждение свойств сферических жидких объемов,
покажем, как получить одно весьма простое выражение для полной энергии
сферы в квазистатическом случае [65]. Простейший способ решения этой
задачи - представление интервала в изотропном виде:
ds2--ev- (dx2-\-dy2-\-dz2) -e^dt2,
p = p(r), v = v(r), r = Yx2 + y2 + z2. ^97,1^
Поскольку координаты x, у, z, t, в которых выражается этот интервал,
являются квазигалилеевыми и становятся просто галилеевыми на большом
удалении от начала координат, можно записать, согласно (92.4), выражение
для энергии рассматриваемой сферы, описываемой интервалом (97.1),
следующим образом:
= Ш(34 -Si - ?2- %l)dxdydz =
= Ш {Т* - Т\ -Т\- 71) еТ <3tl+V> dx dydz. (97.2)
Подставим сюда, далее, вместо компонент тензора энергии - импульса их
выражения через плотность роо и давление р0 (95.10); получаем
rrr -i-On+v)
и = 10 (Роо + Зр") е dxdy dz. (97.3)
И наконец, замечая, что собственный пространственный объем,
соответствующий координатному интервалу dxdydz, равняется
з
¦тг
dV0 - e dxdydz, (97.4)
перепишем выражение для энергии статической идеальной жидкой сферы в
простой, физически прозрачной форме:
_i_
(У = J(Poo + 3p0)e2 VdV0, (97.5)
*) Более подробный анализ задачи Шварцшильда, в частности вопрос о
физическом смысле так называемого "горизонта" г-2т, см.: Л. Ландау, Е. Л
нфшиц, Теория поля, § 100, "Наука", 1973. (Прим. ред.)
256
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
где интегрирование следует производить по всему объему рассматриваемой
сферы.
Для достаточно слабых полей, т. е. полей, создаваемых сферами, малыми
настолько, что ньютонова теория тяготения может рассматриваться как
удовлетворительное приближение, выражение (97.5) сводится к
соответствующему ньютоновскому аналогу. Убедимся в этом.
В случае слабых полей можно ввести согласно (80.9) обычный ньютоновский
потенциал ф*):
Ф = -§"&"" 0 =4-(^-i)"4-v,
и подставить его в выражение для энергии сферы (97.5). Тогда приближенно:
е'^^+ф. (97.6)
В результате получаем
U = J (Роо + ЗРо) (1 + W dV0 =
= J Роо dV0 + J Роо^ dVo + 3 J Ро d.V0 + 3 J р0ф dV0. (97.7)
Это выражение можно, однако, переписать в более наглядной форме.
Поскольку слабые поля ф малы по сравнению с единицей, а ро для обычного
вещества мало относительно роо, мы можем пренебречь последним членом в
(97.7) по сравнению с другими членами, а во втором и в третьем членах
можем опустить нулевые индексы, которые означают, что соответствующие
величины измеряются в собственной системе координат. В итоге имеем
U^SpndVo + SptydV + ZSpdV. (97.8)
Ньютоновская теория позволяет сделать дальнейшие преобразования.
Интегрируя по полному объему сферы с радиусом Г\, получаем
3 Г р dV = 3 j1 4я:r2p dr = |4пг3р | - ( 4л;rsdp = - f 4яг3 dp, о оо
о
поскольку давление обращается в нуль на границе сферы Г\. С другой
стороны, полную радиальную силу, равную -Anr2dp н действующую извне на
сферический слой вещества dMr, ограниченный радиусами г и r-\-dr, мы
можем приравнять гравитационному притяжению, которое испытывает этот
слой:
С С Мг
3) pdV = ) ~dMr.
______________________________ о
*) Скорость света с в (80.9), как и раньше, положена равной единице.
§ 98. НЕСТАТИЧЕСКИИ СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЙ ИНТЕРВАЛ 257
Или окончательно, так как правая часть этого соотношения выражает,
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed