Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тода М. -> "Теория нелинейных решеток" -> 47

Теория нелинейных решеток - Тода М.

Тода М. Теория нелинейных решеток — Высшая школа, 1984. — 262 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaneleneynihreshetok1984.djvu
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 .. 52 >> Следующая

энергия/внешг, так что эффективный, потенциал имеет вид
*m<x> = T't%' (*> ХГ J,a% (XS>
2"
где введена постоянная 6' следующим соотношением:
cl г а+ /вне ш - & е . (К. 6)
Поскольку фэфф (х) имеет минимум при т = -б f ясно, что б' -сжатие
пружины, возникающее благодаря статистическому давлению /внеш
Таким образом, видно, что уравнения движения (2.3,9) имеют, кроме (К.Т),
решение
где дисперсионное соотношение получается из (2.3.2) замещением си на си',
или
1К.Ч ~ / / ъп,л(2К/Л) * + К (К'^
Сила пружины такая же, как и в пружине без давления,
/*,='<# (ъ^/с/Ъп, = си (К-9)
что можно переписать в виде
Усреднение пс времени (К.7.) дает
поэтому получаем fi
(К-Ш
(КМ)
Таким образом, средняя сила пружины равна внешнему давлению, что является
вполне естественным результатом.
2. Когда приложено постоянное давление f Внеш ¦ "^,-ц заменяется на
%п, + d' и л на си' . Таким образом, в общем случае
-4(rn + 6') dz . (К.Л)
е J ~ If dt* *
(*-**)
242
а уравнениями движения являются
Н1+Ь w-ч)= - (s~<'*"" ' гх-
Уравнение (К.14) подучается интегрированием уравнения т^п~ п-л - . Должно
быть понятно, что включают дополнительный
член, не зависящий от времени, но он может зависеть от п- ,
3. Отметим Следующую формулу для -функций:
Мм]1 / ' * 1
где
%%]*[*-(*- Ют^гк" }1 (к-п)
ч\ - v; (j) = 4**(Щ)/(2K)z[i-(i-?У^(гк^)}, (К. di) Положив у = j /л ,
получаем решение
&мтЧ+Лл-т)/'*/г (*-">
уравнений движения (К.15). Тогда (К.13) дает кноидальное волновое решение
(К.7). Чтобы удовлетворить уравнения движения^необходимо, чтобы
дисперсионное соотношение имело вид
I а,'4 z_cl'4 d dn*J(2K / л) .
V = ~rn V* ~ (2K)Z d-(i- ЕГК) on2 (ZK/л ) ' °
которое, конечно, совпадает с (К.8).
4. Когда конец цепочки не закреплен и цепочка может менять свою длину,
дисперсионное соотношение для кноидальной волны принимает вид
,, W [И / + IShl , (Х.Н)
к(k) V ^/v^V-глг/я) к (к)
гчз
а расширение есть где
с-тшмь-*}
Если модуль к кноидальной волны из-за удлинения цепочки Увеличивается, то
частота не увеличивается, а уменьшается, и на самом деле для наименьшей
длины волны Я = 2 частота
^ = <Z>(a=z)=9tJ- J Е(к)К(Ё) (К.М)
уменьшается с увеличением модуля к .
Предположим, имеется внешнее давление fmea . Если дявлмпт таково, что
46' _ *- = ^ СК. 2S)
+ ^внеш ^
то цепочка сжимается на величину 6 ' . Пусть теперь по цепочке
распространяется кноидальная волна, удлиняющая ее на величину (i/4)4iuC.
Поэтому, если выбрать внешнее давление таким, чтобы выполнялось условие
6' =-ft* с,
то удлинение благодаря кноидальной волне будет компенсироваться сжатием
из-за давления. Чтобы устранить удлинение, необходимо приложить давление
л = Я- ^ /внеш = л ^ '
Для минимальной длины волны Я = 2 имеем
fft tf>l- * Of л)
где использована формула
гъо/z)]1 _[*,(" f-J_-_______________L_.
[ Г, (о) J l ЛО)] *' (i-k'W*
Следовательно, максимальная частота для давления, компенсирупце-
244
го удлинение, дается выражением
= со(*=2) = 7Г
CJ
(tm) s т М Е(к)КСк)
I -> i/t \ 1 _ 1Г\/я€/г , л\
~УЧ"7 ^ V Е(к)Х(к)~ K(k)(d-k*)'/*
Если сденивать значение частоты в предельных случаях к-"0 ш к-*1, то
К(к)->7г/2 для ?-*0 и Х(к)->?п, (4/\4-к3-') для к->1, так что получаем
т
и)
г/4*
т ) fT j Cti 2</8 К(к) V
ft.,*,.
V w
(К. 31)
Значение для к-" 0 то же, что и для линейной цепочки. В
случае компенсации удлинения при к-* 1 . Это является
следствием того, что нелинейная цепочка служит приближением для системы
твердых сфер, в которой энергия увеличивается из-за сильного отталкивания
между частицами.
КРАТКИЕ РЕШЕНИЯ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ Задача 1.1. функция
-г I/*- z \ z 1 ~ 3
имеет минимум при = ^ = 0 ¦ Переходя к полярным координа-
там (ъ, е)
<кл = г cot в, = х zifb е7
преобразуем функцию V к виду
JJ = j -j (з^О-'Мг'1 в)*'*ив =
. у 3 / . ^ ^ ^
=¦ - %, Z + ¦ " " V -ЦЛ*-26)4**ь в = -? - Ъ + укн, 3 6.
Таким образом, I/ обладает симметрией правильного треугольника.
245
Далее, W/d<j^O при и dlf/tyj^dV/ty^O при ^ =0 ,
1'2Ш± '
Задача 1.2. Выпишем гамильтониан линейной цепочки.
*¦?-?- K'zL-irft
п л А 'rv <п*с
(у с-О ). С помощью дуального преобразования ( у, )
получаем . jf-i "
iV" V / ч л- р- -I ^ ^
Используя каноническое преобразование 7¦ = Я /л. =-а О (а, ¦= ьо)
''¦П, Г П+1 ° Я* '*¦*4-1 1 >
имеем
п=1 ^
~Е.-^г-Рп<Г. -f^e.n-O;
CtZ
т' 7 " 779 "-
здесь т-.г -j- , =
-1/2
Задача 1.3. Для <j>/x)~U['rn- ZJ) имеем
Ъ-ф'(х)~ых(р + г zyJ/f*y что можно переписать в виде
иг-^)ъ*'=Р>г-
-i/2
Таким образом (полагая, что а->-л-хр для t-> 0 ), получаем
г. -viri_ = .-?-wj >
и уравнения движения (1.4.13) сводятся к 246
здесь с _ ____. t
В последнем уравнении выражение wi/v^- 6*/с* можно интерпретировать как
импульс в специальной теории относительности, где а - скорость частицы, а
с - скорость света.
Задача 2.4. Поскольку для Я = Z иьК = i} дисперсионное уравнение (2.3.2)
дает
Таким образом, если записать ¦сПг = й + 2 X ( тг четное) и = А - Ях. ( -
п. нечетное), то получим
-$(гх*Г -к/е.
Поэтому, введя обозначение р - 2 Я подучим
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed