Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тода М. -> "Теория нелинейных решеток" -> 46

Теория нелинейных решеток - Тода М.

Тода М. Теория нелинейных решеток — Высшая школа, 1984. — 262 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaneleneynihreshetok1984.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 .. 52 >> Следующая

На этом же рисунке изображена области неустойчивости уравнения Матье.
Видно, что когда Я&г = 0,195, только к = 9 находится в области
неустойчивости. Поэтому единственной модой, чья энергия возрастает, будет
мода к = 9. На рис. 3.2 показан результат численных расчетов для этого
случая [3.1]. Энергия каждой моды показана на рис. 3.3 и 3.4. Сначала
возбуждается мода к = 1, но на протяжении всего времени ее энергия сильно
не возрастает, по прошествии времени мода к = 9 и затем мода к = 13
набирают большие энергии. Далее, благодаря аналогичным каскадным
процессам другие моды начинают набирать большие энергии, и после
некоторого времени первоначально возбужденная мода (в данном случае ке =
И) довольно внезапно теряет энергию. Это было названо яв-
237
Время
Рис. 3.2. Пример явления индукции (Саито и др. [ 3.13).
Рис. 3.3. Распределение энергии - малые времена (Саито и др. K3.IJ).
К -5
8 -10
3 - 75
-го
-25
1 -30
-35
J 1 L
I I I
--¦-¦-¦-j- Рис. З.Ч. Распределение энергии -100 ZOO 300 400 . го т11
Время большие времена (Саито и др. L3.IJ]
лением индукции. Как видно из приведенного выше примера, если
нелинейность имеет четвертый порядок, а вначале возбуждена нечетная
(четная) мода, то четные (нечетные) моды никогда не возбуждаются.
Приведенные правила отбора запрещают передачу энергии между модами с
разной четностью. Однако из-за неизбежных ошибок вычисления и ошибок в
начальных условиях мода, четность которой отлична от четности
предполагаемой начально возбужденной моды, может возбуждаться. Затем
через зту моду энергия может перетекать и к другим модам. Тот факт, что
моды к = 10 и к = 2 набирают
238
энергию через длительный промежуток времени, можно объяснить именно так.
Таким образом, когда возбуждены некоторые моды, поток энергии переносится
именно ими. Если, кроме , небольшую энергию получает в начале некоторая
другая мода (рассеивание), то время индукции уменьшается. Это хорошо
известный в численных экспериментах факт [3.2].
Если параметр нелинейности Я велик и энергия, полученная системой,
достаточно велика, то равнораспределение энергии будет достигаться
постольку, поскольку его допускают правила отбора [3.3J. Такое поведение
известно даже для цепочки с экспоненциальным взаимодействием [3.4].
Необходимо также отметить, что в случае увеличения размеров системы
одновременно сближаются облаоти неустойчивости и, следовательно,
улучшается распределение энергии.
С другой стороны, если параметр нелинейности мал и энергия системы тоже
мала, будут исчезать области неустойчивости, и равнораспределение энергии
не будет иметь места. Система будет вести себя как периодическая.
Поскольку численный эксперимент ФПУ не удовлетворял условию
неустойчивости, он и дал явление периодического повторения.
Распределение энергии не означает эргодичности. Даже в линейной цепочке
по отношению к энергии частиц распределение энергии обычно достигается за
короткое время. В нелинейной цепочке распределение энергии между
линейными модами также совершается легко.
ПРИЛОЖЕНИЕ И. СТАТИСТИЧЕСКАЯ СУММА
Для цепочки с экспоненциальным взаимодействием классическая
статистическая сумма может быть строго рассчитана [И.1].
Для ансамбля при постоянном давлении статистическая сумма дается (для
одномерной системы) формулой (И.2)
(И.1)
(и.1)
239
Для цепочки с экспоненциальным взаимодействием
Q-f (М)
{ил)
Если положить то
&-je°'/gkT\y[(a' 'Г)/*к ' ЛУ/** -
S*"(mr"->'tkTr(±&\ Ш)
€ а*
fkT Г
где Г(х) обозначает гамма-функцию. Тепловое расширение решетки задается
как среднее значение X :
Г -Сф(г)*^г]/кг
- > хе dz 3 / п
у - -JZ. ____________-________ - - к I -- ХН Q. -
t- др
J е'[фСг)*ftJ'/kr cjt
_ со
=-1 ^ iiZL + / )].
и средняя энергия, приходящаяся на одну частицу (энтальпия), определяется
как
1 Е/Г = кТ/2* + (1), ;
где ф(г) обозначает среднюю потенциальную энергию. В (И.6) А обозначает
логарифмическую производную Г-функции
d 'Ctv Г (х) , u о\
+ <*> =----------7^----------------------------------------- (
2ВД
Для низкой температуры или малой нелинейности получаем
г =
кТ . (И. 3)
2(а+?>)
ПРИЛОЖЕНИЕ К. ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ ДНЯ ЦЕПОЧКИ БЕЗ УДЛИНЕНИЯ
I. Кноидальное волновое решение имеет вид (2.3.1)
.Л,"7 ?
<К1)
Благодаря формуле
t/J 0/^/2 = ~ (к-2)
усреднение по времени дает
е~в'1п. -4 = 0. (К. 3)
Это означает, что средняя сила j (х)~-^Ы^ Rjm экспоненциального
взаимодействия <f>(x) = ('a/?)eet + аг исчезает:
f(x)=a,(e~*tn-l) - 0. (КЬ)
Поэтому (K.I) есть решение для нулевой средней силы в нелинейной цепочке,
т.е. в случае, когда на цепочку не действует внешняя сила.
Эта сила не появится в уравнениях движения, даже если приложить к цепочке
постоянное давление. Однако потенциал взаимодействия можно модифицировать
таким образом, чтобы он включал внешнюю силу. Положим, что к системе
приложено постоянное внешнее давление { внеш • Это эквивалентно
утверждению, что к энергии каждой пружины добавлена потенциальная
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed