Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
собственные значения в нестандартной форме, имеющей две симметричные
матрицы коэффициентов. Это уравнение можно было бы привести к стандартной
форме, умножив обе части этого уравнения слева на матрицу М"1, но при
этом результирующая матрица M_1S коэффициентов оказалась бы
несимметричной. Чтобы избежать потери матрицами свойства симметрии,
подставим выражение (4.126) в уравнение (4.17) и умножим слева обе части
этого уравнения на (U_1)T, тогда получим
(U-'pSU-'Xu, =p2(u-,)TMU-1Xl/i. (4.18)
Подставляя в правую часть уравнения (4.18) выражение (4.10) для матрицы
М, придем к соотношению вида
$uxui - P'2i^uxuc =; P\xui, (4-19)
где
Sy =(U-,)TSU"1 =F(J1. (4.20)
Отсюда становится очевидным способ приведения матрицы М к симметричному
виду
Му = (U_1)TMU_1 =-- (ит)-1 UTUU-1 = I. (4.21)
В этом случае уравнение (4.19) имеет стандартную форму задачи на
собственные значения с симметричной матрицей коэффициентов. Как следует
из выражения (4.20), матрица Sу обобщенных жесткостей является обратной
матрице обобщенных
253
податливостей, описываемой выражением (4.13). Разумеется,
взаимообратимость этих утверждений справедлива только в том случае, когда
матрицы S и Sy положительно определенные. Если матрица масс диагональная,
то сведение матрицы S к виду (4.20) упрощается до
-!/2i
SM
-1.2
(4.22)
Пример 3. Предположим, что вторая масса на рис. 4.2, а т2= 4mlt а для
остальных, как и в примере 2, имеем т1= т3= т. В этом случае произведение
FM в уравнении (4.9) принимает вид следующей матрицы:
FM
I
4 Т
3 2 1 " ' 1 0 0' " 3 8 1
2 4 2 0 4 0 т = а 2 16 2
1 2 3 0 0 1 1 8 3
(а')
Эта матрица является несимметричной, поскольку масштаб второго столбца
матрицы F изменялся независимо от других столбцов. Вместо того чтобы
использовать эту форму, можно сохранить симметрию матрицы М, построив
сначала диагональную матрицу М1 2 и обратную матрицу
М
1/2
V m
" 1 0 0 ~ 1 ~ 1 0 0 '
0 2 0 М-1/2 = .г - 0 1/2 0
Y т 0
0 0 1 0 1
(б')
Тогда, как следует из соотношения (4.16), матрицу М1/<2 можно применять
как оператор преобразования, что дает матрицу
"34 1
Fи = М'' FM
1/2 .
16
4
(в')
которая - обладает требуемой симметрией. Преобразованную матрицу можно
использовать для решения задачи на собственные значения в стандартной
форме (4.11). И, наконец, с помощью выражения (4.156) и оператора 1
^определяются собственные векторы в исходных координатах.
ЗАДАЧИ
4.2.1. Используя уравнения в усилиях и коэффициенты влияния жесткости для
системы, показанной на рис. 4.2, а, определить собственные значения р'\ и
собственные векторы X (i = 1,2, 3). Принять, что m1= т2 = гпа = т, 1г- /2
= I.
Ответ: р\, 2, 3 = (2 + /2) T/(ml); 27V(m/); (2 + /2) T/(ml).
4.2.2. На рис. А.4.2.2 показаны три массы и четыре пружины. Определить
собственные значения и собственные векторы, используя уравнения в
перемещениях и коэффициенты влияния податливости, если дано: т1= т2= т3=
т, k± = k2 =
k2 - - k.
Ответ: ^ 2 3 = (2 + /2) т/(2/г); m/(2k): (2 - /2) ml(2k).
*1
ЛЛЛЛЛЛЛЛЛг
У///У/У//Ж
-VWWW\Лг
ЛЛЛЛЛЛЛЛЛг
77777777.г}.
777
-ЛЛЛЛЛЛЛЛЛг /
/
/
I /
V$77777777777/,
Рис. А.4.2.2
254
4.2.3. Три простейших маятника соединены двумя пружинами (рис.
А.4.2.3). Дано: т1 ~\т2 = т3 = tn, kx = k2 - k. Используя уравнения в
усилиях, найти собственные значения и собственные векторы, взять в
качестве координат перемещений малые углы 0lt 02 и 0Л.
Ответ:
2 _ g . в . kh- . g 3kh-
Pl.2.3- I ' T + -- + -ЩГ'
Рис. A.4.2.3
4.2.4. На рис. A.4.2.4 показаны три диска, установленные на валу,
который неподвижно закреплен в точке А и свободно поворачивается в
подшипниках в точках В, С и D. Определить собственные значения и
собственные векторы, используя уравнения в перемещениях, если дано: /* =
/2 = /3 = /, kK1 = kK2 - kK3 = feK. В качестве координат перемещений
использовать углы ф1; ф2, ф3.
Ответ: Я,1> 2, з = 5,05ilk ; 0,643//6К; 0,308//6К.
4.2.5. Четыре массы, соединенные тремя пружинами, могут свободно
перемещаться в направлении оси (рис. А.4.2.5). Определить собственные
значения и собственные векторы, используя уравнения движения в усилиях,
если дано: т1 = = т2= т3 = т1= т, = k2 = k3 = k.
Ответ: р\, ,, 3, 4 = 0; (2 - У 2) k /т; 2k!m\ (2 -|- У 2) km.
п 4 h " ¦ о -vwwww л 4 h кг -ЛЛЛЛЛ/WW л 1 Ь о JWWWVW
/г 1 4 и 1
9//7///////?////////,
77777
Рис. А.4.2.5
255
4.2.6. На свободно опертой балке (рис. А.4.2.6) закреплены три массы в
точках, отстоящих друг от друга и от концов балки на четверть ее длины.
Используя в качестве координат перемещений малые смещения ух, у2 и у3,
определить собственные значения и собственные векторы для этой системы с
помощью уравнений в перемещениях. Принять, что тх = т2~ т3- т и что
невесомая призматическая балка имеет жесткость при изгибе EI.
Ответ: Х1; а, з = 31,6а; 2а; 0,444а [а = mPl(768EJ) ].
У А
-о2
I
V
т,
п'&д
/77777
Рис. А.4.2.6
4.2.7. Для показанного на рис. А.4.2.7 тройного маятника определить
собственные значения и собственные векторы, используя уравнения движения
