Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
рассмотреть вектор OR, представляющий сумму этих векторов, и взять
проекцию результирующего вектора на ось х. Длина этого вектора, как видно
из рис. 1.3,
хб
(*)'¦
а угол между вектором и осью равен pt - а, где
arctg-
Г*о
(и)
(к)
В соответствии с вышесказанным выражение (1.5), очевидно, может быть
представлено в эквивалентной форме
х - A cos (pt - а), (1.6)
где Л и а, определяемые из выражений (и) и (к), являются новыми
постоянными, зависящими от начальных условий движения. Видно, что сумма
двух простых гармонических движений, Одно из которых пропорционально cos
pt, а другое sin pt, также является простым гармоническим движением,
пропорциональным cos (pt - а) (см.
рис. 1.2, в). Максимальное значение А ординаты этой "кривой, равное длине
вектора ОТ? (см. рис. 1.3), представляет собой максимальное смещение тела
при колебаниях от положения равновесия и оказывается амплитудой
колебаний.
Благодаря углу а между двумя вращающимися векторами ОР
Рис. 1.2
Рис. 1.3
19
Ж
и OR максимальная ордината кривой на рис. 1.2, в смещена относительно
максимальной ординаты кривой, показанной на рис. 1.2, а, на величину
а/р.В этом случае можно сказать, что результирующее колебание,
представляемое кривой на рис. 1.2, в, отстает от перемещения,
представляемого кривой на рис. 1.2, а\ угол а называется разностью фаз,
или фазовым углом этих двух колебаний. Координаты х и х/р (см. рис. 1.3)
определяют, как говорят, фазовую плоскость, в которой движение
описывается с помощью вращающихся век-
торов.
Пример 1. На свободно опертую балку длиной 3,05 м и с изгибной жесткостью
5,86-104 Н-м2 установлен на высоте h = 0,013 м в среднем сечении
пролета балки груз весом W = 910 Н (рис. 1.4).
Пренебрегая распределенной массой балки и считая, что груз и балка
после
первого соприкосновения не отделяются друг от друга при колебаниях,
вычислить частоту и амплитуду результирующих свободных колебаний.
Решение. При действии нагрузки W, приложенной в середине пролета балки,
статический прогиб
1 1 1
< 2 2
Рис 1.4
бСт
W13
4SEI
910-3,053
9,2-10~3 м.
48-5,86-104
Отсюда, по формуле (1.4) определяем частоту свободных колебаний
V
/
Р
2я
1
2я
\/[
1
2я
9,81
3.13
9,2¦10"3 ~ 0,603
=¦ 5,19 с-
При определении амплитуды учтем, что в начальный момент времени (i = 0),
когда падающий груз ударяет по балке, начальное перемещение х0 = -бст, а
начальная скорость х0 = ]^2gh.
По формуле (и) находим амплитуду
А = V (- бСт)2 + 2Лбст =т
= Y84,64-Ю~° + 239-10'° = 18-10_3 м.
Поскольку амплитуда измеряется от положения статического равновесия, то
следует отметить, что полный прогиб, обусловленный падением груза, А -)-
6СТ = 2,72 X X 10-2 м.
Пример 2. На рис. 1.5, а груз весом W подвешен на двух пружинах с
жесткостями кг и k2, соединенных последовательно. На рис. 1.5, б тот же
груз закреплен на
случая наити эквивалентную
раллельно. Для каждого жесткость k системы.
Решение. Для случая, представленного на рис. 1.5, а, каждая пружина
нагружена одним и тем же весом W и удлинение каждой в отдельности равно =
Wlkx и 62 = Wlk2. Тогда полное статическое перемещение груза составит 6С1
¦= w/ki + Wlk2.
В соответствии с выражением (а) жесткость пружины для эквивалентной
системы будет k = WlbCT, или
(л)
6i + б2 -
20
У
Подставляя найденное значение к в формулу (1.3), можно вычислить период
свободных колебаний.
Пусть в случае, изображенном на рис. 1.5, б, величина - растягивающая
сила, приложенная к верхней пружине, S2 - сжимающая сила, приложенная к
нижней пружине. Обе эти силы обусловлены действием груза весом W. Из
условия того, что каждая пружина должна изменять свою длину на одинаковую
величину, имеем
= S/fti = S2/k2 = W/k. (м)
Далее, единичное перемещение груза вызывает восстанавливающую силу
к = + к2, (н)
которая равна эквивалентной жесткости пружины системы. Таким образом, для
того чтобы получить эквивалентную жесткость пружины при параллельном
соединении пружин, требуется только сложить жесткости каждой пружины.
Силы, действующие на каждую пружину, можно получить из выражений (м) и
(н):
ki "" о k2
Si
ki
¦ W:
W.
Пример 3. Ферменная конструкция состоит из платформы весом W= 1,75 X X
105 Н, опертой на четыре абсолютно жесткие вертикальные стойки и
подкрепленной по каждой стороне двумя диагональными предварительно
напряженными стальными тросами (рис. 1.6, а). Стойки шарнирно закреплены
по концам; каждый диагональный трос имеет площадь поперечного сечения,
равную (1/1/2) X 6,45 X X 10~4 м2, и предварительно напряжен большим
усилием. Пренебрегая массами всех элементов конструкции, за исключением
массы платформы, найти период т свободных боковых колебаний конструкции.
Решение. Приложим к центру тяжести платформы в направлении оси х силу Р
(см. рис. 1.6, б). При действии этой силы изменение растягивающей силы в
диагонали АС будет 5 = J/2P/4. Соответствующее удлинение этой диагонали
составит
SI 1/2 Р j/2 h Ph ~ 2 FE'
Д = ¦
