Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
удлинение в метрах (м), то жесткость пружины будет выражена в Н/м. Для
винтовой цилиндрической пружины с плотно намотанными п витками, имеющими
средний диаметр витка D и диаметр проволоки d, жесткость пружины можно
определить по формуле *
k = G di/(8nD3), (б)
где G - модуль упругости при сдвиге материала проволоки.
Пусть теперь груз выведен из положения равновесия и затем
отпущен, в результате чего возникают колебания. Такие колебания,
* Timoshenko S., Young D. H. Elements of strength of materials. 5 th ed.
Princeton, N. J.: Van^Nostrand, 1968, p. 80
16
w
j | |x,x W+Kx]f
I I
a)
W+kx |
6)
W
S)
Рис. 1.1
которые поддерживаются только упругими силами пружины, называются
свободными, или собственными. Если за положительное принять перемещение
х, направленное вниз, то сила, возникающая при этом в пружине, для
произвольного положения груза будет равна W + kx (рис. 1.1, б). Зная, что
масса груза равна W/g, и обозначая ускорение cPx/dt2 через х, можно в
соответствии со вторым законом Ньютона получить уравнение движения
(Wig) х = W - (W + kx). (в)
Действующие на груз неуравновешенные силы показаны на рис. 1.1, в.
Слагаемые в правой части уравнения (в), обозначающие вес W, сокращаются;
это означает, что дифференциальное уравнение движения для свободных
колебаний системы не зависит от гравитационного поля. Для приводимых ниже
рассуждений важно помнить, что перемещение х измеряется от положения
статического равновесия и что оно считается положительным, когда
направлено вниз.
Вводя обозначение
Р2 = kglW = g'/бет, (г)
уравнение (в) можно представить в виде
х + рЧ = 0. (1.1)
Этому уравнению могут удовлетворять решения в виде х = С1 cos pt или х =
С2 sin pt, где Сх и С2 - произвольные постоянные. Суммируя эти частные
решения, получим общее решение уравнения (1.1):
х - Ci cos pt + С2 sin pt. (1.2)
Видно, что вертикальное давление груза W имеет колебательный характер,
поскольку функции cos pt и sin pt являются периодическими, принимающими
одни и те же значения через интервал времени т, откуда следует
р (т + t) - pt = 2п. (д)
Этот интервал времени называется периодом колебаний. Его величина
определяется из уравнения (д):
т = 2п/р. (е)
С учетом обозначений (г) получаем следующую формулу:
2л V тё=2я V-
(1.3)
17
Можно видеть, что период колебаний зависит от веса W и жесткости пружины
k и не зависит от величины перемещения. Можно также отметить, что период
колебаний подвешенного груза весом W совпадает с периодом колебаний
простейшего маятника, длина которого равна статическому перемещению 6СТ.
Если это перемещение можно определить теоретически или экспериментально,
то период колебаний т определяют по формуле (1.3).
Число возвратно-поступательных движений в единицу времени (т. е. число
циклов в секунду) называется частотой колебаний. Обозначая частоту
колебаний через /, получим
/ = - =-?- = - Т/Ж = _!_ i/Hi (14)
' т 2л 2л У W 2л V 6СТ • к >
Колебательное движение, описываемое выражением (1.2), называется простым
гармоническим движением. Для определения постоянных интегрирования Сх и
С2 следует рассмотреть начальные условия. Предположим, что в начальный
момент времени (/ = 0) грузИ? имеет перемещение ха от положения
равновесия, а начальная скорость равна х0. Подставляя t = 0 в выражение
(1.2), получим
С х = х0. (ж)
Найдя производную выражения (1.2) по времени и подставляя t = 0, получим
С2 = х0/р. (з)
Выражение, описывающее колебательное движение груза W, получаем
подстановкой в выражение (1.2) значений постоянных Сх и С2, что дает
х = х0 cos pt + (х0/р) sin pt. (1.5)
Можно видеть, что в этом случае колебание состоит из двух частей: первая
пропорциональна cos pt и зависит от начального перемещения х0, а вторая
пропорциональна sin pt и зависит от начальной скорости х0. Каждую из этих
частей можно представить графически, как показано на рис. 1.2, а и б, в
виде зависимостей перемещения от времени. Полное перемещение х груза W
при колебаниях в произвольный момент времени t получаем суммированием
ординат двух кривых в этот момент времени, что дает кривую, показанную на
рис. 1.2, в.
Другой метод представления колебаний основан на использовании вращающихся
векторов. Возьмем вектор ОР (рис. 1.3) длиной х0, вращающийся с
постоянной угловой скоростью р вокруг неподвижной точки О. Эта скорость
называется угловой, или круговой частотой колебаний. В начальный момент
времени (t = 0) вектор ОР совпадает с осью х; угол, который составляет
этот вектор с осью х в момент времени t, равен pt. Проекция вектора на
ось х равна х0 cos pt и представляет собой первое слагаемое выражения
(1.5). Взяв другой вектор OQ длиной xjp, перпендикулярный вектору ОР,
видим, что его проекция на ось х соответствует второму слагаемому
18
выражения (1.5). Полное перемещение х груза при колебаниях получаем
суммированием проекций на ось х двух взаимно перпендикулярных векторов ОС
и OQ, вращающихся с угловой скоростью р.
К такому же результату можно прийти, если вместо векторов ОР и OQ
