Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тимошенко С.П. -> "Колебания в инженерном деле" -> 41

Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.

Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1985. — 474 c.
Скачать (прямая ссылка): kolebaniyavinjenernomdele1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 178 >> Следующая

вправо в соответствии со ступенчатой функцией, показанной на рис. 1.48.
Определить закон поведения системы в условиях отсутствия демпфирования
при внезапном смещении опоры.
106
Рис. 1.48
Рис. 1.49
Решение. В этом случае из выражения (в) имеем q0ni= p2d = const, и тогда
решение (1.70) для случая отсутствия демпфирования принимает вид
t
х = pd | sin p (t - t') dt' =d (1 - cos pt), (к)
0
который совпадает с выражением (1.66), за исключением того, что множитель
Q^k заменен постоянной d. Таким образом, видим, что движение представляет
собой свободные колебания с амплитудой d, наложенные на статическое
перемещение той же величины.
Пример 2. В качестве иллюстрации использования решения (1.69) рассмотрим
перемещение опоры в виде линейно возрастающей функции (рис. 1.49). Угол
наклона прямой линии на рисунке равен отношению бd к единице времени.
Требуется получить выражение для обусловленного перемещением опоры
движения системы с демпфированием (см. рис. 1.47, а).
Решение. Перемещение опоры, выраженное через t' и bd:
Хоп = t'bd, (л)
поэтому функция 9ощ> описывающая возмущающую силу в выражении (в),
принимает вид
?ош = P2t'6d. (м)
Вторую часть эквивалентной силы, отнесенной к единице массы, представляем
выражением (г):
Яот ~ 2/z6d. (н)
Подставляя выражения (м) и (н) для qoia и qom в решение (1.69), получаем
t
х = х1 + х2 = ---- ( eni' (p2t' + 2ri) sin p (t - t ) dt . (o)
Рд J о
После интегрирования первая часть решения принимает вид
*l = {?* - 2п + е~П' [2n cos Рд1 + ("2 ~ Pi) sin Ра*] }
>
а для второй части имеем
(п)
2nbd 1 - е nt ^cos p^t + sin j .
(P)
Полученное выражение для первой части решения характеризует поведение,
аналогичное показанному на рис. 1.46, б, но только в этом случае
колебания постепенно затухают. Если пренебречь демпфированием, то
выражение (п) сводится к (о) из п. 1.12, когда вместо бd берем бQ/k.
Кроме того, выражение (р) для второй части решения совпадает с (х) из п.
1.12, если 2nbd заменить на Qjk.
Пример 3. Предположим, что на рис. 1.49 наклонная прямая описывает не
перемещение опоры, а ее ускорение хоп и что угол наклона прямой равен
отношению б а
107
к единице времени. Пусть известно, что в момент времени t = 0 заданы
начальные условия относительно перемещения х0 опоры и ее скорости х0. Для
системы с одной степенью свободы без демпфирования определить
обусловленный движением опоры закон абсолютного перемещения в момент
времени t.
Решение. В этом случае функция, описывающая возмущающую силу, согласно
выражению (и) имеет вид
С, = - *'&а- (с)
Подставляя это выражение в решение (1.73), получим i
х* =------- J t' sin р (t - t') dt'. (т)
0
Интегрируя выражение (т), найдем перемещение в относительных координатах
при отсутствии демпфирования
= (У)
а также скорость движения
X* = --рг(1-COS pt). (ф)
Полное решение представляет сумму перемещения опоры и
относительного
перемещения. Таким образом, учитывая выражение (ж) и начальные
условия,
найдем абсолютную скорость движения
i
х - *оп Н- х* = хопо -[- j" хоа dt'-\-х* у
Г t2 1 1
= *ono + Sal-2 (J - cos pt) j (х)
и абсолютное перемещение
t
х - хоп -]- X* - *ОПО xonot "Ь | *ОП dt' + X* -
о
= -*опо + -*опо^ + -- -jp ---у sin pt^j j . (ц)
Пример ¦*. Лифтовая кабина весом W без демпфера (рис. 1.50) подвешена на
гибком тросе с площадью поперечного сечения А и модулем упругости Е.
Кабина опускается вниз с постоянной скоростью ц0> когда в лебедке
включается тормоз, что вызывает угловое ускорение, равное а!г, где г -
радиус подъемного барабана. При этом условии трос перестанет
раскручиваться через промежуток времени, равный vja, считая от момента
времени t = 0, когда был включен тормоз. Найти перемещение х кабины за
интервал времени 0 ^ t <1 v0la, полагая, что в момент времени t = 0 длина
свободно висящего троса равна / и она не меняется при торможении.
Решение. Данный пример представляет собой случай, когда задано постоянное
(равное -а) ускорение опоры. Тогда согласно выражению (1.73) при
отсутствии демпфирования перемещение кабины в относительных координатах
имеет вид
i
х* = J sin р (t - t') dt' = (1 - cos pi). (ч)
о
Рис. 1.50
108
Как и в предыдущем примере, это перемещение в относительных координатах
можно сложить с перемещением верхнего конца троса и тем самым получить
выражение для суммарной реакции
Г t2 1 1
х = хоп + х* = v0t - а -_ (1 - cosp<)J . (ш)
Разумеется, действительные конструкции лифтов таковы, что тормозные
устройства включаются более плавно, а любая склонность к колебаниям
подавляется соответствующими амортизаторами.
ЗАДАЧИ
1.13.1. Определить закон движения системы с одной степенью свободы без
демпфирования, если перемещение опоры задано в виде, показанном на рис.
А.1.13.1 Ответ:
х = d
h Pt i
sin р (1 - t-i) - sin pt , 1
-----------1- cos p (t - ty) I , t >¦ tx.
pti
1.13.2. Определить закон движения системы с одной степенью свободы и без
демпфирования, если ускорение опоры задано в виде, показанном на рис. А.
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed