Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тимошенко С.П. -> "Колебания в инженерном деле" -> 40

Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.

Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1985. — 474 c.
Скачать (прямая ссылка): kolebaniyavinjenernomdele1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 178 >> Следующая

отсутствии демпфирования, если возмущающая сила описывается
тригонометрической функцией Q= Qi sin [яt/(2ti)], показанной на рис.
А.1.12.7.
Ответ:
х = ^ ( sin cot - sinpAp, ш = , 0 < / < /ь
k \ р Г 2 ti
х = -у- j^cosp (/ - ti) ^-sinp/jp, />/i.
1.12.8. Определить закон движения системы с одной степенью свободы при
отсутствии демпфирования, если возмущающая сила описывается
тригонометрической функцией, показанной на рис. А.1.12.8.
103
Ответ:
X = [/ - cos pt - (cos tot - COS pt) P],
k
X = fcosp (t - /1) - COSp/ + j^COSp/ + Sinp (/ - ti) j p, t > tj_.
1.12.9. Для системы с одной степенью свободы (см. рис. 1.42, а)
определить закон движения при отсутствии демпфирования и действии
возмущающей силы в виде линейно возрастающей функции (см. рис. 1.46, а).
Ответ:
6Q
k
/ -
2 п Р2
+ е
-nt
2 п , п2 - п2
COS Рд/ - Рд__________
Р Р2Рд
sin рд/
1.13. ПРОИЗВОЛЬНОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ОПОРЫ
В ряде практических задач поведение колеблющейся системы обусловлено не
непосредственным действием возмущающей силы, а перемещением опоры.
Вынужденные колебания, вызываемые изменяющимися по гармоническому закону
перемещениями и ускорениями опоры при отсутствии демпфирования и при
наличии вязкого сопротивления, обсуждались соответственно в пп. 1.6 и
1.9. В данном параграфе будут рассматриваться случаи, где заданные
перемещения опоры являются произвольными функциями времени.
Рассмотрим систему с одной степенью свободы с демпфированием (рис. 1.47,
а) и предположим, что перемещение опоры хоп является заданной
аналитической функцией времени. Тогда уравнение движения принимает вид
тх = - с (х - х0п) - k{x- Хоп), (а)
что после преобразования дает
тх + сх + kx = kx0Tl + схоп. (б)
Если выражение для перемещения хоп допускает дифференцирование по
времени, в правой части уравнения (б) будем иметь две аналитические
функции. Первая из них эквивалентна возмущающей силе, равной kxQiy и
приложенной непосредственно к массе, вторая ана-
104
Рис. 1.47
логична силе схоп. Разделив обе части уравнения (б) на массу т, получим
х + 2пх + р2х = q(m = qom -f qon2, (1.68)
где
q0ui = P2xoa = p2F(t') = f(t') (в)
является отнесенной к единице массы эквивалентной силой, обусловленной
перемещением хоп опоры;
2л . , .
Яопг - ^2 Я<"л- (г)
Так же, как в случае функций, описывающих возмущающие силы, предполагаем,
что перемещение хоп и соответствующая ему сила qoal являются функциями
фиктивного времени t' (рис. 1.47, б).
С учетом сказанного дальнейшее рассмотрение проводится аналогично тому,
как это делалось для функции, описывающей возмущающие силы. Однако в этом
случае приращение импульса состоит из двух частей и выражение для
приращения скорости в момент времени имеет вид
dx = (<7oj п Яопг) dt , (д)
где первое слагаемое представляет собой заштрихованную
область
на рис. 1.47, б. В произвольный момент времени t
приращение
перемещения
dx = e~nd-n _L (,j,onl + qon2) Sin p (t _ f) dt'. (e)
Pa
В силу того, что перемещение опоры оказывает непрерывное влияние,
суммарное перемещение массы принимает вид
t
e~nt Г
х = х1 + х2 = -J- J ent' (qoul + qon2) sin pR (t-t)dt', (1.69)
о
что является более полным выражением для интеграла Дюамеля, чем
приводившееся ранее выражение (1.62) в п. 1.12.
105
Если не учитывать демпфирования, получим п = 0 и рд = р, и тогда
выражение (1.69) упрощается до
t t
х = - j <7oni sin р (t - t') dt' = p j xon sin p (t - t') dt'. (1.70) о
0
Здесь первое выражение совпадает по форме с выражением (1.64) из п. 1.12.
Рассмотрим далее случай заданного ускорения хоп опоры. Так же, как это
было сделано в п. 1.6 при рассмотрении вынужденных колебаний,
воспользуемся следующим преобразованием координат:
х* = х - хоп; х* = х - хоп; х* = х - хоп, (ж)
где через х* обозначено перемещение массы относительно опоры. Подставляя
выражения (ж) для х-хип, х - хои и х в уравнение (а), после
преобразования получим
тх* -|- сх* -(- kx* = - тхоа. (з)
Стоящий в правой части член этого уравнения эквивалентен возмущающей силе
- тх0п, действующей непосредственно на массу. Если уравнение (з)
разделить на т, найдем
Г + 2nx* + kx' = <7*п, (1.71)
где
<7оп= %оп - / (О (и)
является функцией, описывающей в относительных координатах возмущающую
силу, обусловленную ускорением опоры.
Уравнение (1.71) аналогично (1.61) из п. 1.12. Отсюда можно сделать
вывод, что динамическое поведение системы в относительных координатах
совпадает по форме с рассмотренными в предыдущих случаях. В данном случае
интеграл Дюамеля для перемещения относительно опоры при наличии
демпфирования имеет вид
t
X = j еГ*Уоп Sin рд (t - О dt'. (1.72)
о
Если демпфирование отсутствует, решение (1.72) принимает более простой
вид
t
х* =-Ljp*n sin р {t - t') dt'. (1.73)
о
Добавим, что абсолютное динамическое перемещение системы можно определить
в том случае, если заданы начальные условия относительно перемещения и
скорости опоры.
Пример 1. Предположим, что опора (см. рис. 1.47, а) внезапно сдвинулась
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed