Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
k \ p /1 - (0 2p2
Сравнивая это выражение с выражением (1.296) в п. 1.7, видим, что они
совпадают. Первый сомножитель в выражении (у) представляет статическое
перемещение системы при действии постоянной нагрузки Qmax; члены,
входящие во второй сомножитель, описывают установившееся и
неустановившееся поведение системы; третий сомножитель является
коэффициентом усиления (5 при отсутствии демпфирования. Отметим, что
установившаяся часть перемещений системы во времени содержится в
решениях, полученных с помощью интеграла Дюамеля, если не принимаются во
внимание начальные условия.
Пример 3. Для системы, показанной на рис. 1.42, а, определить закон
движения при наличии демпфирования, если соответствующая ступенчатая
функция представлена графиком на рис. 1.43, а. в"
# Решение. В этом случае для нахождения закона движения при наличии
демпфирования надо подставить силу, отнесенную к единице массы, = Qjm в
выражение (1.62), откуда получим
t
n-nt
X =
Я^
Pp.
о
J ent' sin рд (t - t ) dt'.
(Ф)
Выражение (ф) можно проинтегрировать по частям и представить в следующем
виде: *= [l - e-n^cospA/+ y-sin рд/) j . (х)
Полученное решение представляет собой сумму статического перемещения Qjk
и перемещения при свободных колебаниях с демпфированием (см. п. 1.8), у
которых амплитуда
<¦>
100
а фазовый угол
ад= arctg (я/рд). (ч)
Если пренебречь демпфированием, то выражение (х) совпадает с (1.66),
амплитуда А становится равной Qjk, фазовый угол аА обращается в нуль.
Пример 4. Получить выражение для кривой на рис. 1.45, в,
описывающей
поведение системы при отсутствии демпфирования для интервала
времени 5т/2 <1
< t < Зт.
Решение. Функция возмущающей силы является периодической и имеет тот же
период, что и сама система. Будем рассматривать временной интервал как
период (t - 1) т ^ t ^ rt, где I = 1, 2, 3, ..., п. Общее выражение,
описывающее поведение системы на первой половине г'-го периода, можно
записать с помощью выражения (1.66) (см. рис. 1.45, а), что дает
П П-1
*"> = X{1 ~cos р [t ~-т]} ~ ~т~ 211 ~cos р [* ~(21
f=l i=l
(ш)
Аналогично можно записать закон движения для второй половины л-го периода
а
ХП2 {' - C0SP^ -- 1)т1- 1 +C0SP - (2t - l)-|-j| =
1=1
п
= ^ {cos [pt - (2i - 1) я] - cos [pt - 2 (i - 1) я]}.
i=l
Используя тригонометрические формулы для косинусов разности двух углов,
получим
п
Хпг = "Т" X ^C0S C0S ^ - *) я + sin sin (2t - 1) я -
i=l
- cos pt cos 2 (i - 1) я - sin pt sin 2 (i - 1) я}.
Учитывая, что значения sin (2i - 1) я и sin 2 (t - 1) я всегда равны
нулю, запишем
п
Хп2 ~ ""Т- 2 ^C0S р* ^C0S ^ - *)я ~cos ^ ^ О Л1} •
Преобразования, аналогичные использованным выше, приводят окончательно к
следующему выражению:
2"Qi , , .
*"а =------1-cos pi- (щ)
Временной отрезок 5т/2 ^ t ^ Зт соответствует второй половине третьего
периода; в результате для я = 3 из выражения (щ) имеем
6Qi , .
Хп=--------7-cos pt. (Э)
ЗАДАЧИ
1.12.1. Определить закон движения системы с одной степенью свободы при
отсутствии демпфирования, если функция возмущающей силы имеет вид,
приведенный на рис. А.1.12.1.
101
Ответ'.
дс =(1 - cos pt), 0 я
x = Si- [cos pit - tp - cos pt1 я
[1 -cosp^-Zj)],
X = [COS p (t - ti) - cos pt] ^2- [cos p (t - t2) - cos p (t - h)\, t >
t2.
1.12.2. Определить закон движения системы с одной степенью свободы при
отсутствии демпфирования, если функция возмущающей силы имеет вид,
приведенный на рис. АЛ .12.2.
Ответ:
Qi (1 j t . sin pt \ n _,
* = -(l-cosp/- - + -^r).
Qi
- cos pt -f-
sin pt - sin p (t - tO
Wi
]
t t\
Q
5,
0
-fli
Рис. A. 1.12.1
1.12.3. Определить закон движения системы с одной степенью свободы при
отсутствии демпфирования, если функция возмущающей силы имеет вид,
показанный на рис. А. 1.12.3.
Ответ:
х = -Щ-(\-cos pt), Q^.t^.t1:
Qi
k
_Qi_
k
1 - cos pt -
t-
t2 tx
h sinp (t - to
P(t-,
'¦-tO 1 -to J '
tl <^.t ^ t2
cos pt -f-
sin p(t - tO - sin p(t - t2) P (h - h)
]¦
t > h.
1.12.4. Определить закон движения системы с одной степенью свободы при
отсутствии демпфирования, если функция возмущающей силы имеет вид,
приведенный на рис. А.1.12.4.
_2i_
k
Qi
а
sin pt
sin pt
Ph sin pt Ph
+
t2 sin p (t - tQ 1 h (/* - h) ^ Ph (h - h) \
t2smp(t - tp sin p (t - t2) '
Ph (ti h) P hi h) .
Ph
h 0 - h)
h<t < t2\ t t2.
102
1-12.5. Определить закон движения системы с одной степенью [свободы при
отсутствии демпфирования, если функция возмущающей силы (рис. А.1.12.5)
изменяется по параболическому закону вида Q = Qi (1 - t2/t\).
Ответ:
Qi
0(2 2 ^
: = -J- | [cos p (t -¦ h) - cos pt] - sin P (t -¦ ti) - cos
pt j ,
t > u.
1.12.6. Определить закон движения системы с одной степенью свободы при
отсутствии демпфирования, если функция возмущающей силы (рис. А.1.12.6)
изменяется по параболическому закону вида Q= Qi(t - t{)2/tl.
Ответ:
Qi j - 2 \ 2< <a . 2 sin 1 . . ,
X = |-Д_ [cos pt - cos p(t- ti)] - cos pt + 2 p"i ' 1 > ll'
1.12.7.'Определить закон движения системы с одной степенью свободы при
