Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
сохраняет эту энергию, в результате чего происходят свободные колебания
относительно начального перемещения 2Q/k, соответствующего моменту
времени tx.
Рассмотрим? второй специальный случай, задав длительность импульса tx -
т. Из выражения (к) следует, что при этом амплитуда А = 0, а перемещения
системы во времени имеют вид, показанный на рис. 1.44, г. В этом случае
постоянная сила совершает положительную по знаку работу на перемещении от
0 до А, которая равна по величине отрицательной работе на обратном
перемещении от А до 0. Поэтому полная совершаемая работа равна нулю, и
система остается в покое после прекращения действия силы.
4 Тимошенко С. П. и др-.
97
Предположим, что ряд ступенчатых функций чередующихся знаков, действующих
так, как показано на рис. 1.45, а, производит в результате
последовательность импульсов прямоугольной формы (рис. 1.45, б). Пусть
длительность интервала времени между смежными ступенчатыми функциями
равна т/2. Тогда действие импульса будет всегда совпадать по фазе со
скоростью и он будет совершать положительную работу на каждом цикле
колебания. В соответствии с принципом наложения можно сделать вывод, что
амплитуда свободных колебаний после п импульсов прямоугольной формы будет
Ап = 2nQ1/k. (л)
Таким образом, при каждом цикле колебаний амплитуда увеличивается на
2Q1/k, в результате чего суммарное перемещение системы стремится к
бесконечности. На рис. 1.45, в показана кривая, демонстрирующая это
нарастание перемещения после нескольких первых циклов колебаний. Из
сказанного можно сделать вывод, что в любой период функции возмущающей
силы при совпадении частот возмущающей силы и системы будут возникать
большие амплитуды вынужденных колебаний, если эта сила совершает при
каждом цикле положительную работу. Таким образом, использование интеграла
Дюамеля для определения перемещения системы во времени при действии
обобщенной периодической возмущающей силы представляет собой метод,
отличный от приведенного в п. 1.11, где динамические нагрузки были
представлены в виде рядов Фурье.
Пример 1. Определить закон движения системы с одной степенью свободы без
демпфирования при действии возрастающей по линейному закону силы,
называемой линейной функцией (рис. 1.46, а). Скорость возрастания функции
Q в единицу времени равна 6Q.
Решение. В данном примере функция возмущающей силы, выраженная через 8Q и
t', имеет вид
Q = 8Q6, (м)
98
а отнесенная к единице массы сила
(и)
Применительно к данному случаю выражение (1.64) дает
х = [ t' sin p(t - t') dt'.
mp J
о
Тогда после интегрирования по частям получаем искомое решение
SQ Л 1 • ,
X = -~ t sin pt
k \ p
(O)
Из полученного решения видно, что закон движения в случае возрастающей по
линейному закону силы представляет собой сумму линейно возрастающего
статического перемещения 6Qtlk и перемещений при свободных колебаниях с
амплитудой 6Qlkp (рис. 1.46,6). Скорость в произвольный момент времени t
равна первой производной выражения (о) по времени
Таким образом, скорость равна нулю в моменты времени t - 0, т, 2т, Зт,
...; в те же моменты времени т = 0, т, 2т, Зт, ... равен нулю угол
наклона кривой, описывающей зависимость перемещения от времени (см. рис.
1.46, б). Кроме того, в момент времени Т = т/2, Зт/2, 5т/2, ... скорость
всегда имеет положительное значение с максимумом, равным 28Q/k.
Правая часть выражения (п) для скорости совпадает по форме с правой
частью выражения (1.66) для перемещений при действии нагрузки в виде
ступенчатой функции. Это объясняется тем обстоятельством, что линейно
возрастающая функция пропорциональна времени, а не является постоянной
величиной, не зависящей от времени. Можно также отметить, что функция
возмущающей силы, изменяющейся во времени по параболическому закону,
обусловливает функцию скорости, совпадающую по форме с правой частью
выражения (о) для перемещений, и функцию ускорения, совпадающую по форме
с правой частью выражения (п) для скорости.
Пример 2. Вновь получим выражения для перемещений при вынужденных
колебаниях без демпфирования системы с одной степенью свободы, если
возмущающая сила является гармонической функцией. Этот случай разбирался
и подробно
(п)
36Qt
Jt t
Рис. 1.46
4*
99
обсуждался выше в пп. 1.6 и 1.7. Предположим, что функция возмущающей
силы имеет вид
Q = Qmax sin at'. (р)
Силу, отнесенную к единице массы, представим в виде
Я = Ятах sin at', (с)
гДе Ятах = Qrs]ax''m-
Подставим представление (с) в выражение (1.64). Тогда получим
t
Ятах
X = -
Р
О
| sin at' sin р (t - t') dt'. (т)
Используя тригонометрическую формулу для произведения синусов и выполняя
интегрирование, приведем выражение (т) к виду
Ятах
2р
о
| [cos (at' - pt + pt') - cos (at' + pt-pt')] dt' -
Ятах
| {cos [(to + p) t' - pt] - cos [(to - p) t' + pt]} dt',
2 p
о
который можно интегрировать непосредственно. Выполнив интегрирование,
после упрощений получим
х = Qmax /sin b)t 5LsinpA -----------Ц-j-. (у)
