Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
1973. 272 с-
10 Иногда в научной литературе процедуру определения собственной основной
частоты колебаний на основе энергетического подхода называют методом
Релея, а высших форм - методом Релея - Ритца. Для вычисления основной
частоты (1873 г.) и высших частот (1877, 1899 гг.) Релей применял метод,
основанный на равенстве кинетической и потенциальной энергий для
предельных состояний (или, как теперь говорят, метод стационарного
значения суммарной энергии системы). Он рассмотрел колебания упругих
струн, стержней, цилиндрических, сферических и конических оболочек,
использовал в основном для описания движения системы форму колебаний
простейшего осциллятора. Полученные результаты вошли в его кн. "Теория
звука", цитированную в п. 1.4; первая публикация метода относится к 1873
г.: Ravleigh. J. W. S. Some general theorems relating to vibrations.
Proceedings of the London Mathematical Society, 1873, V. 4, No. 63, pp.
357-368.
В гл. 9 упомянутой книги при исследовании колебаний прямоугольной
мембраны прогиб выражается в форме
ОО ОО
V4 тппх ппу , v
w = 2j фтп sin--~sm ~ь~' (*)
m~l /г-1
где cpmfI - нормальные координаты.
Для квадратной мембраны (а = Ь) подробно рассмотрены формы <рп, ф22, ф12,
Фз1> Фзз. Фза> Фгз. разобрано наложение форм ф21 и ср12, ф31 и <р13, <р32
н ф23.
Там же обсуждены колебания круговой мембраны, когда
w = (кг) (ф cos п0 + ф sin п0),
где к - величина, пропорциональная частоте; я = 0, 1,2, ...; г, 0 -
полярные координаты; ф, ф - константы.
В гл. 10 рассмотрены осесимметричные и несимметричные колебания круговых
пластин, приведены выражения для частоты колебаний свободно опертой
пластины, когда прогиб имеет вид (*). Кроме того, определены формы
колебаний квадратной пластины со свободными краями, в частности,
разобраны формы
* / ппх ппу \
W = W* COS---------f- COS - ,
V а _ а г
когда я = 1, 2, 3, 4.
В 1899 г. Релеем также определены высшие частоты упругих колебаний.
Работа В. Ритца 1908 г. озаглавлена; "Об одном новом методе решения
некоторых вариационных задач математической физики". В этой связи в 1911
г., уже после смерти В. Ритца, Релей пишет (Rayleigh J. W. S. On the
calculation of Chladni's figures for a square plate. - Philosophical
Magazine and Journal of Sciences, 1911, Ser. 6, pp. 225-229):
" удивительно, как он [В. Ритц] мог рассматривать метод как новый....", в
"одной из моих ранних работ (1899).... этот метод дан в форме, почти в
точности совпадающей с той, в какой он предложен Ритцем....", "....я
полагал, что это исследование (В. Ритца ], ограничивается применениями
этого метода". Может быть, В. Ритц развил свой метод, причем независимо
от Релея. Во всяком случае, протест Релея не был услышан и его имя после
работы В. Ритца надолго исчезает при упоминании обсуждаемого
энергетического метода.
На основании вышеизложенного редактор всюду в книге ввел метод Релея -¦
Ритца. Таким образом, говорить о том, что Ритц дал дальнейшее развитие
метода Релея, неверно. Правильно сказать, что он нашел ему блестящее
применение, которое позволило на метод Релея и его возможности взглянуть
другими глазами.
11 Автор пишет о втором методе Ритца, однако, как указано в примечании 4
редактора перевода, речь идет о методе ортогонализации Бубнова.
12 Леонард Эйлер (1707-1783 гг.) для анализа колебаний колоколов, как
тонких оболочек вращения переменной толщины, первым построил теорию малых
поперечных колебаний мембран в предположении, что мембрана представляет
собой систему ортогональных упругих нитей, и получил дифференциальное
уравнение
467
второго порядка aLwxx -f- a2wyy= wtt, где aL, а2 - постоянные, a w -
прогиб мембраны.
3 Опыты с колебаниями покрытых песком стеклянных пластин, проведенные
Хладни (1756-1827 гг.) (см. Chladni Е. F. F. Entdeckungen fiber die
Theorie des Klanges. Leipzig, 1787; Die Akustik. Leipzig, 1802; Neue
Beitrage zur Akustik. Leipzig, 1817), указали на существование узловых
линий ряда колебаний. Хладни первым обнаружил узловые линии при
колебаниях полностью незакрепленных квадратных пластин; он демонстрировал
фигуры колебаний стеклянных пластин: по краю плоской пластины, посыпанной
мелкозернистым песком или порошком, проводят перпендикулярно поверхности
смычком и при этом возникают места скопления и разрежения песка или
порошка, соответствующие узловым линиям.
14 Если считать, что по всей длине контура прямоугольной пластины
закрепление одинаково и что может быть только три вида условий на каждом
контуре - свободноопертый край (1), защемленный край (2), свободный край
(3), то для пластины может существовать 21 вариант контурных условий:
1111, 1212, 1211, 1213, 1113, 1313, 2222, 2221, 2223, 2211, 2231, 2233,
2123, 2132, 2133, 2323, 2313, 2333, 1133, 1333, 3333. Первые шесть
относятся к случаю, когда два противоположных края пластины свободно
оперты, для них решение при симметричных и антисимметричных формах
колебаний найдены, как указано в предыдущей сноске, В. Фойг-том, а
