Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
описываются функциями, которые не относятся к классу непрерывных
аналитических функций.
* Кешепу J. G., Kurtz Т. Е. BASIC programming. - New-York: J. Wiley,
1967. 122 p.
П.З. ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ
В п. 2.6 описаны численные методы решения нелинейных уравнений движения
систем с одной степенью свободы. Два подробно обсужденных там подхода
представляют методы осредненных и линейных ускорений, включающие итерации
на каждом шаге по времени. Экстраполяционные формулы для метода
осредненных ускорений составляют выражения (2.64)-(2.69). Для
демонстрации возможности применения этих формул к примерам 1, 2 и 3 из п.
2.6 здесь представлены три специализированные программы под названием
AVAC1A, AVAC2A и AVAC3A.
Программа AVAC1A вычисляет динамические перемещения демпфированной
линейной системы при действии возмущающей силы в виде ступенчатой функции
Qr и сравнивает полученные результаты с точным решением. Данные,
приведенные в конце текста программы, соответствуют тому, что было задано
в примере 1 из п. 2.6, а результаты расчетов вошли в табл. 2.1а. Эту
программу можно переделать в программы AVAC1B, AVAC1C и т. д.,
относящиеся к иным типам возмущающих сил, путем переделки процедур, в
которых вычисляются ускорение и точное значение перемещения на каждом
шаге по времени.
Программа AVAC2A предназначена для определения приближенных значений
динамических перемещений простого маятника при задании начальных условий
на перемещения и скорость. Данные, содержащиеся в конце программы,
относятся к примеру 2 из п. 2.6, а результаты расчетов помещены в табл.
2.2. С целью исследования других систем с геометрическими нелинейностями
типа рассмотренных в задачах из п. 2.1 можно составить варианты этой
программы, озаглавив их AVAC2B, AVAC2C?h т. д.
Программа AVAC3A предназначена для определения приближенных значений
динамических перемещений демпфированной системы с пружиной, имеющей
возрастающую жесткость и зависимость нагрузки от перемещения в виде
кубической функции (см. пример 3 из п. 2.6). Предполагается, что в
системе имеется вязкое демпфирование и на нее действует возмущающая сила
в виде ступенчатой функции Данные в конце программы относятся к примеру
3, результаты расчетов сведены в табл. 2.3. Для систем, чьи зависимости
нагрузки от перемещения имеют нелинейности, типа рассматривавшихся в
задачах к п. 2.2, можно составить программы, озаглавив их AVAC3B и т. д.
Набор специализированных программ под названием AVAC4A, 4В и т. д. можно
составить для исследования систем с кусочно-линейными характеристиками,
типа приводившихся в задачах к п. 2.5. Кроме того, любая из программ,
использующая метод осредненных ускорений, может быть без особого труда
переделана применительно к методу линейных ускорений, если вместо
выражения (2.65) взять формулу (2.74). По существу для перехода от
программ AVAC1A, AVAC2A и AVAC3A к программам LINAC1A, LINAC2A и LINAC3A
требуется изменить только несколько строк в каждой из этих программ.
Более того, при программировании можно использовать как формулы
экстраполяции, приведенные в п. 2.6, так и итерационный подход. Но
программа, основанная на последнем, в приложение не включена.
П.4. ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ
ВЕКТОРОВ
Итерационный метод вычисления частот и форм колебаний для линейных систем
со многими степенями свободы был описан в п. 4.7. Рекуррентными формулами
для определения главного собственного значения и соответствующего
собственного вектора являются выражения (4.100)-(4.102), соответствующие
формулы для задачи на собственные значения, колеблющейся системы, суть
(4.103)-(4.105). Кроме того, введение ограничений на формы колебаний и
использование "выметающих" матриц для нахождения первой и второй форм
колебаний приводит к алгоритму, использующему выражения (4.106)-(4.109).
Все эти выражения включены в программу
456
EIGIT3 для определения методом итераций первых трех собственных значений
и собственных векторов системы со многими степенями свободы. Распечатка
этой программы содержит исходные данные для трехмассовой системы,
показанной на рис. 4.1, а, которая использовалась в качестве числового
примера в п. 4.7 (см. табл. 4.1 и 4.2). EIGIT3 удобно использовать для
исследования систем со многими степенями свободы с положительно
определенной матрицей коэффициентов (см. задачи из п. 4.7). Эту программу
можно усовершенствовать, чтобы иметь возможность исследовать более трех
форм колебаний, и тогда ее можно использовать в качестве блока для
описываемой ниже программы DYNACON3.
П.5. ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
В п. 4.11 метод нормальных форм колебаний применен к решению задачи
исследования неустановившегося поведения демпфированной линейной системы
со многими степенями свободы при действии возмущающих сил, описываемых
кусочнопостоянными и кусочно-линейными функциями. Программа DYNACON3
основана на применении выражений (4.155а) и (4.1556) для определения
